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Chapitre 5 : Structure des groupes abéliens finis
Théorème : Soit $A$ un groupe abélien fini, alors $\exists$ des entiers $d_1, \ldots, d_r \geq 2$ avec $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r$, tels que
$$A \simeq \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/d_r\mathbb{Z}. $$
En particulier, $|A| = d_1 \cdots d_r$ et $\forall x \in A, x^{d_r} = e$.
Définition : Soit $G$ un groupe, l'exposant de $G$ est le p.p.c.m. des ordres des éléments de $G$.
Proposition : Soit $G$ un groupe abélien fini, soit $e$ l'exposant de $G$, alors $\exists x \in G$ dont l'ordre est $e$.
Remarque : L'exposant de $G$ est donc aussi le maximum des ordres des éléments de $G$.
Preuve : Posons $e = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r}$, $p_i$ premier. $\forall i$, $p_i^{\alpha_i}$ est la plus grande puissance de $p_i$ qui divise l'ordre d'un élément de $G$, donc $\exists x_i \in G$, d'ordre $p_i^{\alpha_i} m_i$ avec $p_i \nmid m_i$. On considère $y_i = x_i^{m_i}$, alors $y_i$ est d'ordre $p_i^{\alpha_i}$. Alors $y = y_1 \cdots y_n$ est d'ordre $e$.
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Définition : Soit $A$ un groupe abélien fini, un caractère de $A$ est un morphisme $\chi : A \to \mathbb{C}^*$.
Remarque : $\forall x \in A$, $\chi(x)$ est une racine de l'unité. Si $e$ est l'exposant de $A$, $\chi(x)$ est une racine $e$-ième de $1$.
Définition : $\hat{A} = \{\text{caractères de } A\}$.
Proposition : $\hat{A}$ est un groupe pour la loi : $\chi_1, \chi_2 \in \hat{A}$, $(\chi_1\chi_2)(x) = \chi_1(x)\chi_2(x)$.
Proposition : Si $A$ est cyclique d'ordre $n$, de générateur $a$, alors, l'application
$$\begin{align*} \hat{A} &\to U_n\\ \chi &\mapsto \chi(a) \end{align*} $$
est un isomorphisme de groupes. ($U_n$ est le groupe des racines $n$-ième de $1$ : $U_n \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).
Preuve : $\chi(a) \in U_n$ détermine $\chi$ complètement car $a$ est un générateur.
$\square$
Proposition : (Prolongement des caractères)
Soit $A$ un groupe abélien fini, $B \subset A$ le sous-groupe, si $\chi \in \hat{B}$, il existe $\hat{\chi} \in \hat{A}$, tel que $\hat{\chi}|_B = \chi$.
Preuve : Par récurrence sur l'indice $[A : B]$.
Si $[A : B] = 1$, c'est trivial.
Soit $\chi \in \hat{B}$, soit $x \in A \setminus B$, on veut définir $\chi(x)$. On regarde l'image de $x$ dans $A/B$. Soit $r$ son ordre, alors $r \mid \text{ordre de } x$ et $x^r \in B$. Si $s$ est tel que $x^s \in B$, alors $r \mid s$.
On dispose de $\chi(x^r) \in \mathbb{C}^*$. Soit $\alpha \in \mathbb{C}^*$, tel que $\alpha^r = \chi(x^r)$. Soit $B'$ le sous-groupe de $A$ engendré par $B$ et $x$ et on prolonge $\chi$ à $B'$ :
Si $y = bx^t$, $b \in B$, $t \in \mathbb{N}$,
$$\hat{\chi}(y) := \chi(b)\alpha^t. $$
Ceci est bien défini : si $bx^t = b'x^{t'}$, alors $b'^{-1}b = x^{t'-t} \in B$, alors
$$r \mid t' - t. $$
Posons $t' - t = ru$, alors
$$\chi(b')\alpha^{t'} = \chi(b')\alpha^{t+ru} = \chi(b')\alpha^t\chi(x^r)^u. $$
Comme on a
$$b' = bx^{t-t'} = bx^{-ru}, $$
alors
$$\chi(b') = \chi(b)\chi(x^r)^{-u}. $$
On a donc
$$\chi(b')\alpha^{t'} = \chi(b)\alpha^t. $$
On vérifie que $\hat{\chi} \in \hat{B'}$, puis comme $[A : B'] < [A : B]$, on applique l'hypothèse de récurrence à $B'$ et on obtient un prolongement.
$\square$
Si $G$ est un groupe cyclique, $G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, alors $\hat{G} = U_n \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ isomorphisme de groupe. $\chi \in \hat{G}$ est complètement déterminé par $\chi(1) \in U_n$.
Corollaire : Soit $G$ un groupe abélien fini. Si $x \in G$, $x \neq e$, alors $\exists \chi \in \hat{G}$, tel que $\chi(x) \neq 1$.
Preuve : Considérons $H = \langle x \rangle$ cyclique, on peut choisir $\chi \in \hat{H}$, $\chi(x) \neq 1$, ensuite on peut prolonger $\chi$ à $G$.
$\square$
Théorème : (Théorème de structure)
Soit $G$ un groupe abélien fini, alors $\exists d_1,\ldots,d_r \geq 2$ avec $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r$, tels que
$$G \simeq \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/d_r\mathbb{Z}. $$
($d_r$ : exposant de $G$)
Preuve : Posons $n$ l'exposant de $G$ et soit $x \in G$ d'ordre $n$. Soit $H = \langle x \rangle$ cyclique, on veut trouver un sous-groupe $K$ de $G$ tel que
$$G \simeq K \times H $$
Alors, on aura $|K| < |G|$ et on pourra faire une récurrence sur $|G|$.
$H$ est cyclique, soit $\chi \in \hat{H}$ tel que $\chi(x)$ est une racine primitive $n$-ième de $1$. Alors, l'application
$$\begin{align*} \hat{H} &\to U_n\\ \chi &\mapsto \chi(x) \end{align*} $$
est un morphisme bijectif. Par la proposition de prolongement des caractères, $\chi$ se prolonge en un caractère de $G$, noté $\hat{\chi}$.
Soit $K = \ker \hat{\chi} \subset G$, on a
$$K \cap H = \{e\}, $$
car $\chi$ est injectif. Et on a $G = K \cdot H$. Car si $g \in G$, $\hat{\chi}(g) \in U_n$ et $\exists k \in \{0, \ldots, n - 1\}$ tel que $\hat{\chi}(g) = \hat{\chi}(x)^k = \hat{\chi}(x^k)$, alors $g \cdot (x^k)^{-1} \in K$, d'où l'isomorphisme
$$\begin{align*} K &\xrightarrow[]{\sim} G\\ (k, h) &\longmapsto kh. \end{align*} $$
Par hypothèse de récurrence, $\exists d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_{r-1}$ tels que :
$$K \simeq \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/d_{r-1}\mathbb{Z} $$
Et de plus, $d_{r-1}$ est l'exposant de $K$ qui divise $n$ (exposant de $G$), d'où le résultat pour $G$.
$$G \simeq \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/d_r\mathbb{Z},\quad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r. $$
On note $d_r = n$.
$\square$
Quelques propriétés des caractères :
Soient $G$ un groupe abélien fini et $\hat{G}$ le groupe des caractères.
Si $G$ est cyclique, $G \simeq \hat{G}$.
$\widehat{G_1 \times G_2} \simeq \hat{G}_1 \times \hat{G}_2$.
Si $\chi \in \widehat{G_1 \times G_2}$, on note pour $g_1 \in G_1$, $g_2 \in G_2$,
$$\chi_1(g_1) := \chi(g_1, e), $$
$$\chi_2(g_2) := \chi(e, g_2). $$
Alors, $\chi_1 \in \hat{G}_1$, $\chi_2 \in \hat{G}_2$, et on a $\chi(g_1, g_2) = \chi_1(g_1) \cdot \chi_2(g_2)$.
Si $G$ est abélien, alors $G \simeq \hat{G}$, grâce au théorème de structure.
Bidual : On a un isomorphisme canonique : $$\begin{align*}\phi : G &\to \hat{\hat{G}}\\ x &\mapsto \tilde{x} \quad [\chi \mapsto \chi(x)]. \end{align*}$$ En effet :
$$\begin{align*} \tilde{x}(\chi_1\chi_2) &= \chi_1\chi_2(x)\\ &= \chi_1(x)\chi_2(x)\\ &= \tilde{x}(\chi_1)\tilde{x}(\chi_2). \end{align*} $$
Ainsi, $\tilde{x} \in \hat{\hat{G}}$.
De plus, $\phi$ est un morphisme de groupe : On a
$$\begin{align*} \widetilde{xy}(\chi) &= \chi(xy) \\ &= \chi(x)\chi(y) \\ &= \tilde{x}(\chi)\tilde{y}(\chi). \end{align*} $$
Alors,
$$\phi(xy) = \widetilde{xy} = \tilde{x} \cdot \tilde{y} = \phi(x)\phi(y). $$
En plus, ce morphisme est injectif : Si $x \in G$, $x \neq e$, $\exists \chi \in \hat{G}$ tel que $\chi(x) \neq 1$, i.e. $\tilde{x}(\chi) \neq 1$. Donc, $\tilde{x}$ n'est pas le neutre. Comme $|G| = |\hat{G}| = |\hat{\hat{G}}|$, on a bien un isomorphisme.
Relation d'orthogonalité des caractères
Les caractères sont des applications : $G \to \mathbb{C}$. Soit $F$ l'espace vectoriel des applications $f : G \to \mathbb{C}$, c'est un espace vectoriel de dimension finie ($= |G|$).
Relation d'orthogonalité :
Si $\chi_1, \chi_2 \in \hat{G}$, alors
$$\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_1(g)\overline{\chi_2(g)} = \begin{cases} 0, & \text{si } \chi_1 \neq \chi_2 \\ 1, & \text{si } \chi_1 = \chi_2 \end{cases}. $$
Remarque : Comme le module est $1$, on a $\overline{\chi_2(g)} = \chi_2(g)^{-1} = \chi_2^{-1}(g)$. Alors,
$$\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_1(g)\overline{\chi_2(g)} = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_1(g)\chi_2^{-1}(g) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} (\chi_1\chi_2^{-1})(g). $$
Soit $\chi \in \hat{G}$, on note
$$S_\chi = \sum_{g \in G} \chi(g). $$
Lemme : On a
$$S_\chi = \begin{cases} |G|, & \text{si } \chi = 1 \\ 0, & \text{si } \chi \neq 1 \end{cases}. $$
Preuve : On a $\forall y \in G$,
$$S_\chi = \sum_{x \in G} \chi(xy) $$
En effet, l'application
$$\begin{align*} G &\to G\\ x &\mapsto xy \end{align*} $$
est une bijection, alors $\sum_{x \in G} \chi(xy) = \sum_{x' \in G} \chi(x') = S_\chi$.
Alors, on a
$$S_\chi = \sum_{x \in G} \chi(x)\chi(y) = \left( \sum_{x \in G} \chi(x) \right) \chi(y) $$
Donc,
$$S_\chi = S_\chi \cdot \chi(y), \quad \forall y \in G $$
Si $\chi \neq 1$, $\exists y$, tel que $\chi(y) \neq 1$ et alors $S_\chi = 0$. Si $\chi = 1$, alors $S_\chi = |G|$.
$\square$
On a fait une moyenne sur tous les éléments de $G$.