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Chapitre 2 : Espace de probabilité
2.1 Espace de probabilité
But : modéliser une "expérience aléatoire".
Exemple : Expérience aléatoire : on lance un dé à 6 faces. L'ensemble des résultats possibles de l'expérience $\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$.
Informellement, une "expérience" est une question à laquelle on répond oui ou non, après avoir observé les résultats de l'expérience.
Exemple : Événement : $A = $ "le dé tombe sur un nombre pair".
Formellement, un événement est représenté par un sous-ensemble de $\Omega$.
Pour modéliser une expérience aléatoire, on doit préciser :
- L'ensemble $\Omega$ des résultats possibles.
- Une famille $\mathcal F \subseteq \mathcal P(\Omega)$ d'événements considérés.
- Une valeur de probabilité $\mathbb P(A) \in [0, 1]$ pour chaque événement $A \in \mathcal F$.
La famille $\mathcal F$ et les probabilités $\mathbb P(A)$ doivent satisfaire un certain nombre de conditions de cohérence. On va introduire ces conditions.
Definition : Soit $\Omega$ un ensemble non vide. Une famille $\mathcal F \subseteq \mathcal P(\Omega)$ est appelée une tribu sur $\Omega$ si
- $\varnothing \in \mathcal F$.
- $A \in \mathcal F \implies A^C \in \mathcal F$.
- Si $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ est une famille dénombrable d'éléments de $\mathcal F$, alors $\bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n \in \mathcal F$.
Definition : Pour un ensemble $\Omega \neq \varnothing$ et $\mathcal F$ une tribu sur $\Omega$, on appelle le couple $(\Omega, \mathcal F)$ espace de probabilité. Dans ce cas, les éléments de $\mathcal F$ sont appelés événements.
Proposition : Si $\mathcal F$ est une tribu sur $\Omega$, alors
- $\Omega \in \mathcal F$.
- Si $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ est une famille dénombrable d'éléments de $\mathcal F$, alors $\bigcap\limits_{n \in \mathbb N} A_n \in \mathcal F$.
- Si $A, B \in \mathcal F$, alors $A \setminus B \in \mathcal F$.
- $\mathcal F$ est stable par intersections et unions finies.
Preuve :
- $\Omega = \varnothing^C$.
- $\bigcap\limits_{n \in \mathbb N} A_n = \left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n^C\right)^C$.
- $A \setminus B = A \cap B^C$.
- $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \bigcap_{k \in \mathbb N} A_k$ avec $A_{n + 1} = A_{n + 2} = \cdots = \Omega$ ; $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \bigcup_{k \in \mathbb N} A_k$ avec $A_{n + 1} = A_{n + 2} = \cdots = \varnothing$.
$\square$
Exemple :
- Pour tout $\Omega \neq \varnothing$,
- $\{ \varnothing, \Omega \}$ est la plus petite tribu sur $\Omega$. (on l'appelle la tribu triviale sur $\Omega$)
- $\mathcal P(\Omega)$ est la plus grande tribu sur $\Omega$.
- Pour l'expérience du lancer de dé, supposons qu'on observe uniquement la parité du résultat. Alors la tribu des événements observables est $\mathcal F = \{ \varnothing, P, I, \Omega \}$, où
$$ \Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}, \quad P = \{ 2, 4, 6 \}, \quad I = \{ 1, 3, 5 \}. $$
Lemme : L'intersection d'une famille non vide quelconque de tribus (sur $\Omega$) est encore une tribu sur $\Omega$. Si $(\mathcal F_i)_{i \in I}$ est une famille de tribus sur $\Omega$, alors $\bigcap_{i \in I} \mathcal F_i$ est une tribu.
Preuve : Voir TD.
$\square$
Definition : Soit $\mathcal C \subseteq \mathcal P(\Omega)$. Soit $(\mathcal F_i)_{i \in I}$ la famille des tribus sur $\Omega$ qui contiennent $\mathcal C$. On définit $\sigma(\mathcal C) = \bigcap\limits_{i \in I} \mathcal F_i$, cette famille est non vide car elle contient $\mathcal P(\Omega)$. D'après le lemme, $\sigma(\mathcal C)$ est une tribu sur $\Omega$, $\sigma(\mathcal C)$ est appelée la tribu engendrée par $\mathcal C$. C'est la plus petite tribu sur $\Omega$ qui contient $\mathcal C$.
Exemple : La tribu borélienne sur $\mathbb R$ est $B(\mathbb R) := \sigma(\{ ]-\infty, t] : t \in \mathbb R \})$.
Exercice : Montrer que $B(\mathbb R)$ contient tous les intervalles.
Definition : Soit $\Omega$ un ensemble non vide muni d'une tribu $\mathcal F$. Une application $\mathbb P: \mathcal F \to [0, 1]$ est appelée mesure de probabilité, si elle satisfait les axiomes suivants :
- ($\sigma$-additivité) Pour toute suite d'événements $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ deux à deux disjoints, on a $\mathbb P \left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n\right) = \sum\limits_{n \in \mathbb N} \mathbb P(A_n)$.
- $\mathbb P(\Omega) = 1$.
Remarque : Plus généralement, une application $\mu: \mathcal F \to [0, \infty]$ est une mesure (positive), si $\mu(\varnothing) = 0$ et $\mu$ est $\sigma$-additive.
Exemple : La mesure de comptage sur $\mathbb N$ définie par
$$ \mu(A) = \begin{cases} \text{card}(A), & \text{si } A \subseteq \mathbb N \text{ est fini} \\ \infty, & \text{si } A \subseteq \mathbb N \text{ est infini} \end{cases} $$
est une mesure (positive) mais pas une mesure de probabilité.
Definition : Un espace de probabilité est un triplet $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ tel que
- $\Omega$ est un ensemble non vide.
- $\mathcal F$ est une tribu sur $\Omega$.
- $\mathbb P$ est une mesure de probabilité sur $\mathcal F$.
Modéliser une expérience aléatoire consiste à définir son espace de probabilité.
Dans ce cours, on va étudier un cas particulier d'espace de probabilité pour éviter les constructions techniques de $\mathcal F$ et de $\mathbb P$.
Théorème : Soit $\Omega$ un ensemble au plus dénombrable non vide, et soit $\mathcal F = \mathcal P(\Omega)$. Alors une probabilité (mesure de probabilité) $\mathbb P$ sur $\mathcal F$ est entièrement déterminée par les valeurs $P_\omega := \mathbb P(\{ \omega \})$, pour tout $\omega \in \Omega$.
Remarque : Plus précisément, pour toute famille de nombres $(P_\omega)_{\omega \in \Omega}$ telle que $P_\omega \geqslant 0$ pour tout $\omega \in \Omega$ et $\sum\limits_{\omega \in \Omega} P_\omega = 1$, la formule
$$ \mathbb P(A) = \sum\limits_{\omega \in A} P_\omega $$
définit une probabilité sur $(\Omega, \mathcal F)$, et toutes les probabilités sur $(\Omega, \mathcal F)$ se définissent de cette façon.
Preuve : Pour chaque probabilité $\mathbb P$ sur $\mathcal P(\Omega)$, on a une famille $(P_\omega := \mathbb P(\{ \omega \}))_{\omega \in \Omega}$. Par la $\sigma$-additivité de $\mathbb P$, on a, pour tout $A \subseteq \Omega$ :
$$ \mathbb P(A) = \mathbb P \left(\bigcup_{\omega \in A} \{ \omega \} \right) = \sum\limits_{\omega \in A} \mathbb P(\{ \omega \}) = \sum\limits_{\omega \in A} P_\omega. $$
Réciproquement, pour chaque famille $(P_\omega)_{\omega \in \Omega}$ telle que $P_\omega \geqslant 0$ pour tout $\omega \in \Omega$ et $\sum\limits_{\omega \in \Omega} P_\omega = 1$, la formule $\mathbb P(A) = \sum\limits_{\omega \in A} P_\omega$ définit une probabilité sur $(\Omega, \mathcal F)$, c'est-à-dire satisfait les axiomes d'une mesure de probabilité.
$\square$
Exemple (Probabilité uniforme sur un ensemble fini) : Soit $\Omega$ un ensemble fini non vide et $\mathcal F = \mathcal P(\Omega)$. La probabilité uniforme sur $\Omega$ est définie par
$$ P_\omega = \frac{1}{\text{card}(\Omega)}, \quad \forall \omega \in \Omega. $$
Sous la probabilité uniforme, on a
$$ \mathbb P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}, \quad \forall A \subseteq \Omega. $$
Exemple ("Paradoxe" des anniversaires) : Modèle : on a $n$ personnes dont les anniversaires se trouvent tous les 365 jours d'une année. On pose $\Omega = \{ 1, 2, \ldots, 365 \}^n$, $\mathcal F = \mathcal P(\Omega)$, et $\mathbb P$ la probabilité uniforme sur $\Omega$.
Soit $A =$ "au moins 2 personnes ont le même anniversaire". Alors $A^C =$ "les $n$ anniversaires sont tous différents". On cherche $\mathbb P(A)$.
Supposons $n \leqslant 365$. Alors
$$ A^C = \{ (a_1, a_2, \ldots, a_n) \mid \forall i \neq j, a_i \neq a_j \}, $$
d'où
$$ |A^C| = A_{365}^n = \frac{365!}{(365-n)!} = 365 \times 364 \times \cdots \times (365 - n + 1). $$
Par conséquent,
$$ \mathbb P(A) = 1 - \mathbb P(A^C) = 1 - \frac{|A^C|}{|\Omega|} = 1 - \prod\limits_{k = 0}^{n - 1}\left(1 - \frac{k}{365}\right). $$
Le "paradoxe" (fait contre-intuitif) : $\mathbb P(A)$ peut être "grand" même si $n \ll 365$.
Par exercice : $\mathbb P(A) > \frac{1}{2} \iff n \geqslant 23$.
Un modèle continu : on choisit un point "au hasard uniformément" dans l'intervalle $[0, 1]$. On pose
$$ \Omega = [0, 1], \quad \mathcal F = B([0, 1]), \quad \mathbb P([a, b]) = b - a, \quad \forall\, 0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 1. $$
Remarque : Conséquence de nos hypothèses :
$$ \mathbb P(\{ x \}) = 0, \quad \forall x \in [0, 1]. $$
On voit une différence entre
- un événement de probabilité 0,
- un événement impossible.
Definition (Événement négligeable et propriété presque sûre) : Soit $A$ un événement.
- $A$ est négligeable si $\mathbb P(A) = 0$.
- $A$ est presque sûr si $\mathbb P(A) = 1$.
- Une propriété est vraie presque sûrement s'il existe un événement $A \in \mathcal F$ tel que $\mathbb P(A) = 1$ et la propriété est vraie pour tout $\omega \in A$.
Remarque : L'ensemble $\{ \omega \in \Omega \mid \text{la propriété est vraie} \}$ peut ne pas être dans $\mathcal F$.
Remarque : Soit $A$ un événement dans un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$.
- $A$ est négligeable $\iff \mathbb P(A) = 0$.
- $A$ est presque sûr $\iff \mathbb P(A) = 1$.
Conséquence de la $\sigma$-additivité de $\mathbb P$ : l'union (l'intersection) d'une famille au plus dénombrable d'événements négligeables (presque sûrs) est encore négligeable (presque sûre).
Abréviation : p.s. = presque sûr, $\mathbb P$-p.s. = presque sûr sous la probabilité $\mathbb P$.
Théorème : Soient $A, B$ deux événements dans un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$. Alors
- $\mathbb P(\varnothing) = 0$.
- Si $A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal F$ sont deux à deux disjoints, alors $\mathbb P \left(\bigcup\limits_{k = 1}^n A_k \right) = \sum\limits_{k = 1}^n \mathbb P(A_k)$.
- $\mathbb P(A^C) = 1 - \mathbb P(A)$.
- Si $A \subseteq B$, alors $\mathbb P(A) \leqslant \mathbb P(B)$.
- $\mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb P(B) - \mathbb P(A \cap B)$.
- $\mathbb P \left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n\right) \leqslant \sum\limits_{n \in \mathbb N} \mathbb P(A_n)$.
Preuve : Exercice.
$\square$
Soit $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ un espace de probabilité et $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite d'événements.
Théorème (continuité des probabilités) : Si la suite $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ est croissante (càd $\forall m \leqslant n, A_m \subseteq A_n$), alors $\mathbb P(A_n) \underset{n \to \infty}{\nearrow} \mathbb P\left(\bigcup_{n \in \mathbb N} A_n\right)$. Si la suite $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ est décroissante (càd $\forall m \leqslant n, A_n \subseteq A_m$), alors $\mathbb P(A_n) \underset{n \to \infty}{\searrow} \mathbb P\left(\bigcap_{n \in \mathbb N} A_n\right)$.
Preuve : Supposons que $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ est croissante. Pour tout $n \geqslant 1$, soit $B_n = A_n \setminus A_{n-1}$. Alors $\bigcup_{k \in \mathbb N} A_k = A_0 \cup \left(\bigcup_{k = 1}^\infty B_k\right)$, et $\forall n \geqslant 0, A_n = A_0 \cup \left(\bigcup_{k = 1}^n B_k\right)$.
Par la $\sigma$-additivité de $\mathbb P$, on a
$$ \mathbb P\left(\bigcup_{k \in \mathbb N} B_k\right) = \mathbb P(A_0) + \sum\limits_{k = 1}^\infty \mathbb P(B_k), $$
et pour tout $n$,
$$ \mathbb P(A_n) = \mathbb P(A_0) + \sum\limits_{k = 1}^n \mathbb P(B_k). $$
Si $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ est décroissante, $(A_n^C)_{n \in \mathbb N}$ est croissante.
$\square$
Remarque : Pour une suite d'événements $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ quelconque, on peut écrire
$$ \mathbb P \left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb N} A_n\right) = \lim\limits_{N \to \infty} \uparrow \mathbb P \left(\bigcup\limits_{k = 1}^N A_k\right) $$
$$ \mathbb P \left(\bigcap\limits_{n \in \mathbb N} A_n\right) = \lim\limits_{N \to \infty} \downarrow \mathbb P \left(\bigcap\limits_{k = 1}^N A_k\right) $$
Lemme (Premier lemme de Borel-Cantelli) : Soit $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite d'événements dans un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$. Si $\sum\limits_{n = 0}^\infty \mathbb P(A_n) < +\infty$, alors
$$ \mathbb P \left(\bigcap\limits_{k = 1}^\infty \left(\bigcup\limits_{n = k}^\infty A_n\right)\right) = 0 $$
Remarque : L'événement $\bigcap_{k = 1}^\infty \left(\bigcup_{n = k}^\infty A_n\right)$ est réalisé ssi un nombre infini des événements $A_n$ sont réalisés :
$$ \bigcap_{k = 1}^\infty \left(\bigcup_{n = k}^\infty A_n\right) = \{ \omega \in \Omega \mid \text{il existe une infinité de } n \in \mathbb N \text{ tels que } \omega \in A_n \}. $$
Cet événement est dans la tribu $\mathcal F$, car on peut le construire à partir des $A_n$ en utilisant des $\cap$ et $\cup$ dénombrables.
Preuve : Soit $B_k = \bigcup_{n = k}^\infty A_n$. La suite d'événements $(B_k)_{k \in \mathbb N}$ est décroissante. Par la sous-additivité des probabilités, on a
$$ \mathbb P(B_k) \leqslant \sum\limits_{n = k}^\infty \mathbb P(A_n). $$
Par la continuité des probabilités, on a
$$ \mathbb P\left(\bigcap_{k = 1}^\infty B_k\right) = \lim\limits_{k \to \infty} \mathbb P(B_k) \leqslant \lim\limits_{k \to \infty} \sum\limits_{n = k}^\infty \mathbb P(A_n) = 0, $$
car la série $\sum\limits_{n = 0}^\infty \mathbb P(A_n)$ converge.
$\square$
Remarque (Interprétation probabiliste) : Si les probabilités d'une suite d'événements décroissent assez vite ($\iff \sum\limits_{n = 0}^\infty \mathbb P(A_n) < +\infty$), alors presque sûrement seul un nombre fini des événements $A_n$ sont réalisés, c'est-à-dire
$$ \mathbb P\left(\{ \omega \in \Omega \mid \omega \in A_n \text{ pour seulement un nombre fini de } n \in \mathbb N \}\right) = 1. $$
Exemple (d'application) : Un joueur joue à une suite infinie de jeux tel que pour tout $n \geqslant 1$, la probabilité qu'il gagne au $n$-ième jeu est $\frac{1}{2^n}$.
(Par ex, on lance $n$ pièces de monnaie au $n$-ième jeu, et le joueur gagne seulement si toutes ces pièces tombent sur "face")
Alors presque sûrement, le joueur ne gagne qu'un nombre fini de jeux. Càd presque sûr il existe $k \in \mathbb N^*$ tel que le joueur perd à tous les jeux à partir du $k$-ième jeu.
Remarque : Les résultats de la suite infinie des jeux ne sont pas nécessairement indépendants.
2.2 Probabilité conditionnelle et indépendance
Soit $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ un espace de probabilité. Soit $A \in \mathcal F$ un événement.
Idée : $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ modélise notre connaissance sur l'expérience aléatoire avant toute observation de son résultat.
Question : si on observe que l'événement $A$ est réalisé, comment doit-on changer notre modèle de l'expérience aléatoire ?
Pour calculer la probabilité d'un événement $B$ après l'observation de $A$, on va utiliser $\mathbb P(B \cap A)$, et la normaliser par $\mathbb P(A)$.
Definition : Soit $A \in \mathcal F$ tel que $\mathbb P(A) > 0$. Pour tout $B \in \mathcal F$, on pose $\mathbb P(B \mid A) := \frac{\mathbb P(B \cap A)}{\mathbb P(A)}$. Le nombre $\mathbb P(B \mid A)$ est appelé probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$.
Théorème : Pour $A \in \mathcal F$ tel que $\mathbb P(A) > 0$, l'application
$$\begin{align*} \mathbb P_A: \mathcal F &\to [0, 1] \\ B &\mapsto \mathbb P(B \mid A) \end{align*} $$
est une mesure de probabilité sur $(\Omega, \mathcal F)$.
Preuve : On vérifie les deux axiomes de la mesure de probabilité.
- Soit $(B_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite d'événements disjoints deux à deux, alors $\forall i \neq j, (B_i \cap A) \cap (B_j \cap A) = (B_i \cap B_j) \cap A = \varnothing$. Donc $(B_n \cap A)_{n \in \mathbb N}$ est aussi disjoint deux à deux.
$$ \mathbb P \left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb N}(B_n \cap A)\right) = \sum\limits_{n \in \mathbb N} \mathbb P(B_n \cap A) = \mathbb P \left(\left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb N} B_n\right) \cap A\right) $$
$$ \implies \mathbb P \left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb N} B_n \mid A\right) = \sum\limits_{n \in \mathbb N} \mathbb P(B_n \mid A) $$
- $\mathbb P_A(\Omega) = \frac{\mathbb P(A \cap \Omega)}{\mathbb P(A)} = 1$.
$\square$
Remarque :
- En fait $\mathbb P_A(A) = 1$ càd $\mathbb P(A \mid A) = 1$. On a aussi $\mathbb P(A^C \mid A) = 0$.
- Soit $B \in \mathcal F$, alors $\mathbb P(B^C \mid A) = 1 - \mathbb P(B \mid A)$. En général, il n'y a pas de relation similaire entre $\mathbb P(B \mid A)$ et $\mathbb P(B \mid A^C)$.
Remarque (Formule de probabilités composées) : Soient $n \geqslant 2$ et $A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal F$ tels que $\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) > 0$. Alors
$$ \mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = \mathbb P(A_1) \cdot \prod\limits_{k = 2}^n \mathbb P\left(A_k \mathrel{\Big|} \bigcap_{j = 1}^{k-1} A_j\right). $$
Remarque : Par exemple, pour $n = 3$ :
$$ \mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \mathbb P(A_1) \cdot \mathbb P(A_2 \mid A_1) \cdot \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2). $$
La formule des probabilités composées permet de calculer la probabilité que $n$ événements soient réalisés simultanément comme un produit de probabilités conditionnelles.
Definition : Une famille au plus dénombrable $(A_i)_{i \in I}$ est appelée un système quasi-complet d'événements si
- $\forall i \in I, A_i \in \mathcal F$.
- $\forall i \neq j, A_i \cap A_j = \varnothing$ (càd disjoints deux à deux).
- $\sum\limits_{i \in I} \mathbb P(A_i) = 1$.
Théorème (Formule des probabilités totales) : Si $(A_i)_{i \in I}$ est un système quasi-complet d'événements tel que $\mathbb P(A_i) > 0$ pour tout $i \in I$, alors pour tout $B \in \mathcal F$, on a $\mathbb P(B) = \sum\limits_{i \in I} \mathbb P(B \mid A_i) \cdot \mathbb P(A_i)$.
Théorème (Formule de Bayes) : Soient $A, B \in \mathcal F$ tels que $\mathbb P(A) > 0$ et $\mathbb P(B) > 0$, alors $\mathbb P(A \mid B) = \frac{\mathbb P(B \mid A) \cdot \mathbb P(A)}{\mathbb P(B)}$.
Indépendance de deux événements
Remarque : Deux événements $A, B$ sont indépendants si l'observation d'un événement ne change pas la probabilité de l'autre. Si $\mathbb P(A) > 0$, cela signifie $\mathbb P(B \mid A) = \mathbb P(B) = \frac{\mathbb P(B \cap A)}{\mathbb P(A)}$.
Definition : Soient $A, B \in \mathcal F$ deux événements, ils sont indépendants si $\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(A) \mathbb P(B)$.
Remarque :
- La relation d'indépendance entre deux événements est symétrique.
- Si deux événements disjoints sont indépendants, alors au moins un des deux événements est négligeable.
- Un événement de probabilité 0 ou 1 est indépendant de tous les événements.
Indépendance d'une famille d'événements
Definition : Soit $(A_i)_{i \in I}$ une famille d'événements ($\forall i \in I, A_i \in \mathcal F$).
- $(A_i)_{i \in I}$ est indépendante deux à deux, si pour tout $i, j \in I$ tel que $i \neq j$, $A_i$ et $A_j$ sont indépendants.
- $(A_i)_{i \in I}$ est mutuellement indépendante, si pour tout sous-ensemble fini $J \subseteq I$, on a
$$ \mathbb P \left(\bigcap_{i \in J} A_i\right) = \prod\limits_{i \in J} \mathbb P(A_i) $$
Remarque : Mutuellement indépendante $\implies$ indépendante deux à deux.
Exemple : On lance deux pièces de monnaie. $A =$ "la première pièce tombe sur face", $B =$ "la deuxième pièce tombe sur face", $C =$ "les deux pièces tombent sur le même côté".
Alors
$$\begin{align*} &\mathbb P(A) = \mathbb P(B) = \mathbb P(C) = \frac{1}{2}, \\ &\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \cap C) = \mathbb P(C \cap A) = \frac{1}{4}, \\ &\mathbb P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{4}. \end{align*} $$
On voit que $A, B, C$ sont deux à deux indépendants, mais pas mutuellement indépendants.
Remarque :
- Pour vérifier l'indépendance mutuelle d'une famille $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$, il ne suffit pas de vérifier que $\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = \prod\limits_{i=1}^n \mathbb P(A_i)$.
- Si $(A_i)_{i \in I}$ est mutuellement indépendante, alors toute famille $(B_i)_{i \in I}$ de la forme
$$ \forall i \in I, B_i = A_i \text{ ou } B_i = A_i^C $$
est mutuellement indépendante.
Remarque : Quand on dit "indépendant" tout court, cela signifie "mutuellement indépendant".
Lemme (Deuxième lemme de Borel-Cantelli) : Soit $(A_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite d'événements indépendants. Si $\sum\limits_{n \in \mathbb N} \mathbb P(A_n) = +\infty$, alors $\mathbb P\left(\limsup\limits_{n \to \infty} A_n\right) = 1$.
Remarque : Rappel :
$$ \limsup\limits_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} A_n. $$
Remarque (Interprétation) : Si les probabilités d'une suite d'événements indépendants décroissent assez lentement (càd $\sum\limits_{n \in \mathbb N} \mathbb P(A_n) = +\infty$), alors presque sûrement une infinité de ces événements sont réalisés.
Preuve : On considère l'événement
$$ \left(\limsup\limits_{n \to \infty} A_n\right)^C = \left(\bigcap_{k = 1}^\infty \bigcup_{n = k}^\infty A_n\right)^C = \bigcup_{k = 1}^\infty \left(\bigcap_{n = k}^\infty A_n^C\right). $$
Pour chaque $k$, soit $C_k = \bigcap_{n = k}^\infty A_n^C$. La famille $(A_n^C)_{n \in \mathbb N}$ est indépendante, donc
$$ \mathbb P(C_k) = \prod\limits_{n = k}^\infty (1 - \mathbb P(A_n)) \leqslant \prod\limits_{n = k}^\infty \exp(-\mathbb P(A_n)) = \exp\left(-\sum\limits_{n = k}^\infty \mathbb P(A_n)\right) = 0. $$
Par la continuité des probabilités, on a
$$ \mathbb P\left(\bigcup_{k = 1}^\infty C_k\right) = \lim\limits_{k \to \infty} \mathbb P(C_k) = 0. $$
Donc $\mathbb P\left(\limsup\limits_{n \to \infty} A_n\right) = 1$.
$\square$
Remarque : Le deuxième lemme de Borel-Cantelli serait faux sans la condition d'indépendance.
Exemple : Soit $A \in \mathcal F$ tel que $\mathbb P(A) \notin \{ 0, 1 \}$ et $\forall n \in \mathbb N, A_n = A$. Alors $\sum\limits_{n = 0}^\infty \mathbb P(A_n) = +\infty$, mais $\mathbb P\left(\limsup\limits_{n \to \infty} A_n\right) = \mathbb P(A) \neq 1$.
Exemple (Suite de pile ou face infinie) : On pose $\Omega = \{ 0, 1 \}^{\mathbb N^*}$, $\mathcal F = \sigma(C_n)$ où $C_n = \{ \omega \in \Omega \mid \omega_n = 0 \}$.
Interprétation : expérience aléatoire : une suite infinie de lancers d'une pièce de monnaie. $\mathcal F = \sigma(C_n)$ : on peut observer le résultat du $n$-ième lancer, et tous les autres événements constructibles à partir des $C_n$ à l'aide de $(\quad)^C, \cap, \cup$ dénombrables. En particulier, tout événement qui ne dépend que des $n$ premiers lancers est dans $\mathcal F$. Mais $\mathcal F$ contient aussi d'autres événements.
Par ex :
$$ A = \{ \text{la pièce tombe sur pile une infinité de fois} \}, $$
$$ B = \left\{ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{P_n}{n} = \frac{1}{2} \right\} \text{ où } P_n = \text{le nombre de pile dans les } n \text{ premiers lancers}. $$
Théorème (Résultat admis) : Pour tout $p \in [0, 1]$, il existe une probabilité $\mathbb P: \mathcal F \to [0, 1]$ telle que
- la famille $(C_n)_{n \in \mathbb N}$ est indépendante ;
- $\forall n \in \mathbb N$, $\mathbb P(C_n) = p$.
Dans le cas particulier d'une pièce de monnaie équilibrée, on a $p = \frac{1}{2}$ et
$$ \forall (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n) \in \{ 0, 1 \}^n, \mathbb P\left((\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n)\right) = \frac{1}{2^n}. $$
Proposition (Application du deuxième lemme de Borel-Cantelli) : Dans le modèle de pile ou face infini, on a
$$ \mathbb P\left(\{ \omega \in \Omega \mid \exists \text{ une infinité de } n \in \mathbb N^* \text{ tels que } \omega_n = 0 \}\right) = 1. $$
Càd presque sûr la pièce tombe sur pile une infinité de fois.
Preuve : Soit $I = \limsup\limits_{n \to \infty} C_n$. Dans ce modèle, la suite $(C_n)_{n \in \mathbb N^*}$ est indépendante et $\sum\limits_{n \in \mathbb N} \mathbb P(C_n) = +\infty$. Donc le deuxième lemme de Borel-Cantelli donne $\mathbb P(I) = 1$.
$\square$