2.2 Sous-modules et modules quotients

Définition : Soit $A$ un anneau. Un sous-module $N$ d'un $A$-module $M$ est un sous-groupe de $(M,+)$ t.q. $\forall a\in A$, $\forall n\in N$, $a\cdot n \in N$. (noté $N\leq M$)

Exemples :

1. $A$ est un $A$-module. Ses sous-modules sont ses idéaux à gauche.

2. Soit $f:M\rightarrow N$ un morphisme de $A$-module. $\text{Ker } f$ et $\text{Im } f$ sont des sous-modules respectifs de $M$ et $N$. Plus généralement : Si $N_1 \le N$, alors $f^{-1}(N_1) \le M$ ; Si $M_1 \le M$, alors $f(M_1) \le N$.

3. Donnons-nous $(M_i)_{i\in I}$ une faille de sous-modules d'un $A$-module $M$. Alors :

   $$\bigcap_{i\in I}M_{i} \le M,\quad\sum_{i\in I}M_{i} = \{m_{i_1}+\dots+m_{i_r} \mid m_{i_j}\in M_j\} \le M. $$

Définition : Soient $A$ un anneau et $M$ un $A$-module. Soit $X \subseteq M$ une partie de $M$. Le sous-module engendré par $X$ est l'intersection de tous les sous-modules contenant $X$. On le note $\langle X \rangle$. On a alors un morphisme

$$\begin{align*}A^{(X)}&\rightarrow M\\(a_x)_{x\in X}&\mapsto\sum_{x\in X}a_x\cdot x\end{align*} $$

d'image $\langle X\rangle$. C'est-à-dire :

$$\langle X \rangle := \bigcap_{X\subseteq N \le M}N = \left\{\sum_{x\in X}a_{x}\cdot x \ \middle|\ (a_x)_x \in A^{(X)}\right\}. $$

Définition : Soit $A$ un anneau. Soit $M$ un $A$-module. $N\le M$. On peut munir le quotient de groupes $M/N$ d'une structure de $A$-module : $a\cdot(m+N)=am+N$, $a\in A$, $m\in M$. La projection $\pi:M\rightarrow M/N$ est alors un morphisme de $A$-module.

Propriété universelle du quotient : Soit $f\in \mathrm{Hom}_{A}(M,N)$. Soit $M_{1}\le M$, alors :

$$M_{1}\subseteq \text{Ker } f \iff \exists \hat{f}\in \mathrm{Hom}_{A}(M/M_{1}, N),\,f = \hat{f}\circ\pi $$

De plus, $\hat{f}$ est unique et $\text{Im }\hat{f}=\text{Im } f$, $\text{Ker }\hat{f}=\text{Ker } f / M_{1}$.

Corollaire :

1. (Premier théorème d'isomorphisme) Soit $f\in\mathrm{Hom}_A(M,N)$, alors $M/\text{Ker } f \simeq \text{Im } f$.
2. (Deuxième théorème d'isomorphisme) Soit $P \le N \le M$ trois $A$-modules, alors $N/P\leq M/P$ et $(M/P)/(N/P) \simeq M/N$.
3. (Troisième théorème d'isomorphisme) Soient $M$ un $A$-module et $N, P \le M$, alors $N/(N\cap P) \simeq (N+P)/P$.

Preuve :

1. Il suffit d'appliquer la propriété universelle pour $M_1 = \text{Ker } f$. On obtient $\hat{f} : M/\text{Ker } f \to N$ t.q. $\text{Im }\hat{f} = \text{Im } f$, $\text{Ker }\hat{f} = \text{Ker } f / \text{Ker } f = 0$. $\hat{f}$ induit donc un isomorphisme $M/\text{Ker } f \simeq \text{Im } f$.

2. On considère la projection $\pi : M \to M/N$. Comme $P \leq N = \text{Ker }\pi$, la propriété universelle fournit un morphisme : $\hat{\pi} : M/P \to M/N$ de plus, $\text{Im}\hat{\pi} = \text{Im }\pi = M/N$, $\text{Ker}\hat{\pi} = \text{Ker }\pi / P = N/P$. Par le premier théorème d'isomorphisme, $(M/P)/\text{ker }\hat{\pi} \simeq \text{Im }\hat{\pi}$, i.e. $(M/P)/(N/P) \simeq M/N$.

3. On considère la composée : $f : N \xrightarrow[\text{inclusion}]{\leq} N+P \xrightarrow[\text{projection}]{\pi} (N+P)/P$. Prenons $\alpha \in (N+P)/P$. On la relève en un élément $\tilde{\alpha} \in N+P$. On écrit $\tilde{\alpha} = n+p$ avec $n \in N$, $p \in P$, alors $f(n) = n \bmod P = n+p \bmod P = \alpha$. Donc $f$ est surjective. Soit $n \in \text{Ker } f$, alors $n \in P = \text{Ker }\pi$. Donc $n \in P \cap N$. Réciproquement, $P \cap N \subseteq \text{Ker } f$. Donc $\text{Ker } f = P \cap N$. Par le premier théorème d'isomorphisme, $N/(N \cap P) = N/\text{Ker } f \simeq \text{Im } f = (N+P)/P$.