2.5 Familles libres, génératrices, bases

Définition : Soit $A$ un anneau. Soit $M$ un $A$-module. On considère une famille $(x_i)_{i \in I} \subseteq M$ et le morphisme :

$$\begin{aligned} \varphi : A^{(I)} &\longrightarrow M \\ (a_i) &\longmapsto \sum_{i \in I} a_i x_i \end{aligned}$$

1. On dit que $(x_i)$ est génératrice si $\varphi$ est surjectif, c'est-à-dire $M = \langle x_i \mid i \in I \rangle$.
2. Les éléments de $\mathrm{Ker}\,\varphi$ sont appelés relations entre les $x_i$. Si $\mathrm{Ker}\,\varphi = \{0\}$, on dit que $(x_i)_{i \in I}$ est libre.
3. Si $\varphi$ est un isomorphisme, $(x_i)$ est en même temps libre et génératrice, et on dit que c'est une base de $M$.

Remarques :

1. Un $A$-module $M$ n'a pas nécessairement de base : $A = \mathbb{Z}, M = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
2. Même si un $A$-module $M$ a une base, ce n'est pas nécessairement vrai pour ses sous-modules : $A = \mathbb{C}[x, y]$, $M = (x, y)$.
3. Une famille libre maximale d'un $A$-module $M$ qui a une base n'est pas nécessairement une base : $A = \mathbb{Z}$, $M = \mathbb{Z}$, famille $(2)$.
4. Une famille génératrice minimale d'un $A$-module $M$ qui a une base n'est pas nécessairement une base : $A = \mathbb{Z}$, $M = \mathbb{Z}$, famille $(2, 3)$.

Définition : Un $A$-module $M$ qui a une base est dit libre.

Théorème : Soit $A$ un anneau commutatif. Soit $M$ un $A$-module libre. Alors toutes les bases ont même cardinal, qu'on appelle le rang de $M$.

Remarque : L'énoncé est faux lorsque $A$ n'est pas supposé commutatif.

Exemple : Soient $\mathbb{K}$ un corps, $V = \mathbb{K}[x]$ comme un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Soit $A = \mathrm{End}_{\mathbb{K}}(V)$. On a $V \cong V \oplus V$. Du coup,

$$A = \mathrm{End}_{\mathbb{K}}(V) = \mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V, V) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V \oplus V, V) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V, V) \times \mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V, V) = A \times A. $$

Preuve du théorème : Par le théorème de Krull, on a $\mathfrak{m} \subset A$ un idéal maximal. Soient $(e_i)_{i \in I}, (f_j)_{j \in J}$ deux bases de $M$. On considère l'isomorphisme :

$$\begin{aligned} \Phi : A^{(I)} &\longrightarrow M \longrightarrow A^{(J)} \\ (a_i) &\longmapsto \sum_{i \in I} a_i e_i \\ &\quad\quad\quad \parallel \\ &\quad\quad \sum_{j \in J} b_j f_j \longmapsto (b_j)_{j \in J} \end{aligned}$$

En quotientant par $\mathfrak{m}$, on obtient un isomorphisme de $A/\mathfrak{m}$-espace vectoriel :

$$\bar{\Phi} : (A/\mathfrak{m})^{(I)} \longrightarrow M/\mathfrak{m}M \longrightarrow (A/\mathfrak{m})^{(J)} $$

Donc $|I| = |J|$.

On considère un morphisme de $A$-modules : $f : M \to N$. Soit $I \subset A$ un idéal de $A$. Alors :

1. $IM \leqslant M$, $IN \leqslant N$.
2. $M/IM$ et $N/IN$ sont $A$-modules.
3. Soit $\phi:A\to\mathrm{End}_\mathbb{Z}(M/IM)$ définie par $a\mapsto(m+IM\mapsto a\cdot(m+IM))$, alors $I\subset\mathrm{Ker}\,\phi$. Du coup, $\phi$ induit par propriété universelle un morphisme $A/I\to\mathrm{End}_\mathbb{Z}(M/IM)$. Donc $M/IM$ est muni d'une structure de $A/I$-module. De même pour $N/IN$.
4. Montrons que $f$ induit de manière canonique un morphisme de $A/I$-modules $\bar{f}:M/IM\to N/IN$. En effet, par $A$-linéarité de $f$, on a $f(IM)=If(M)\subset IN$, ceci signifie que $IM$ est contenu dans le noyau de $\pi_N\circ f$. Par la propriété universelle du quotient, $\pi_N\circ f$ se factorise de manière unique en un morphisme de $A$-modules $\bar{f}:M/IM\to N/IN$. Puisque $M/IM$ et $N/IN$ sont canoniquement munis d'une structure de $A/I$-modules, la $A$-linéarité de $\bar{f}$ implique sa $A/I$-linéarité. Ainsi, $\bar{f}$ est un morphisme de $A/I$-modules.

5. Si $I$ est maximal, alors $A/I$ est un corps. Ainsi, un $A/I$-module est un $A/I$-espace vectoriel.
6. Si $f$ est bijectif, alors $\bar{f}$ est bijectif.