Algèbre IV — Diego Izquierdo (Partie II)

Professeur : Diego Izquierdo
Matière : Anneaux et modules

Programme

Chap. 1 — Arithmétique des anneaux : Anneaux et algèbres, morphismes, idéaux, quotients, $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$, divisibilité, idéaux premiers et maximaux, anneaux euclidiens, factoriels, noethériens, anneaux de polynômes.

Chap. 2 — Modules : Définition et exemples, sous-modules et modules quotient, produits et sommes directes, idéal annulateur, familles libres et bases, modules de type fini, lemme de Nakayama, modules noethériens, produit tensoriel, localisation, modules projectifs et plats, modules indécomposables, modules simples.

Chap. 3 — Modules de type fini sur un anneau principal : Modules sans torsion, modules de torsion, matrices sur un anneau principal, théorème de la base adaptée, applications aux groupes abéliens de type fini et à la réduction des endomorphismes.

Chap. 4 — Introduction à la géométrie algébrique (hors examen) : Ensembles algébriques, topologie de Zariski, théorème des zéros de Hilbert, le spectre d'un anneau, dimension.

Notes

Chapitre 2 — Modules

• 2.1 — Définition et exemples
• 2.2 — Sous-modules et modules quotients
• 2.3 — Produits, sommes directes et suites exactes
• 2.4 — Idéal annulateur et torsion
• 2.5 — Familles libres, génératrices, bases
• 2.6 — Modules de type fini
• 2.7 — Lemme de Nakayama
• 2.8 — Modules noethériens