Chapitre 2 — Modules

2.3 Produits, sommes directes et suites exactes

Définition : Soit $A$ un anneau. Soit $(M_i)_{i\in I}$ une famille de $A$-modules.

1. Le produit $\prod\limits_{i\in I} M_i$ est un $A$-module muni des projections canoniques $p_j : \prod\limits_{i\in I} M_i \to M_j$. Ce produit est caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout $A$-module $N$ et pour toute famille de morphismes de $A$-modules $(f_i)_{i \in I}$ (où $f_i : N \to M_i$), il existe un unique morphisme de $A$-modules $f : N \to \prod\limits_{i\in I} M_i$ tel que, pour tout $j \in I$, on ait $p_j \circ f = f_j$. Autrement dit, pour tout $j \in I$, le diagramme suivant commute :

   Une autre manière d'exprimer cette propriété universelle est de se donner un isomorphisme de groupes abéliens canonique :

   $$\mathrm{Hom}_A\left(N, \prod_{i\in I} M_i\right) \simeq \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_A(N, M_i) $$

2. La somme directe des $M_i$ est le sous-module $\bigoplus\limits_{i\in I}M_i$ de $\prod\limits_{i\in I}M_i$ constitué des familles presque nulles, muni des inclusions canoniques $\iota_j:M_j\to\bigoplus\limits_{i\in I}M_i$.

   Cette somme directe est caractérisée par la propriété universelle suivante : pour tout $A$-module $N$ et pour toute famille de morphismes de $A$-modules $(g_i)_{i \in I}$ (où $g_i : M_i \to N$), il existe un unique morphisme de $A$-modules $g : \bigoplus_{i\in I}M_i \to N$ tel que, pour tout $j \in I$, on ait $g \circ \iota_j = g_j$. Autrement dit, pour tout $j \in I$, le diagramme suivant commute :

   Une autre manière d'exprimer cette propriété universelle est de se donner un isomorphisme de groupes abéliens canonique :

   $$\mathrm{Hom}_A\left(\bigoplus_{i\in I} M_i, N\right) \simeq \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_A(M_i, N) $$

Par définition, $\bigoplus\limits_{i\in I}M_i\subset\prod\limits_{i\in I}M_i$, et $\bigoplus\limits_{i\in I}M_i = \prod\limits_{i\in I}M_i \iff |I|<+\infty$.

Définition :

1. Une suite de morphismes $M_0 \xrightarrow{f_0} M_1 \xrightarrow{f_1} M_2 \xrightarrow{f_2} \dots \xrightarrow{f_n} M_{n+1}$ est dite exacte si $\forall i\in[\![0,n]\!]$, $\text{Im } f_i = \text{Ker } f_{i+1}$.

2. Une suite exacte courte est de la forme :

   $$0 \rightarrow M' \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} M'' \rightarrow 0 $$

   Cela signifie que :

   • $\text{Ker }i = 0$, i.e. $i$ est injectif
   • $\text{Im }p = M''$, i.e. $p$ est surjectif
   • $\text{Im }i = \text{Ker }p$, i.e. par le premier théorème d'isomorphisme, $M''\cong M/M'$

Exemples :

1. Si $I$ est un idéal de $A$, la suite : $0\to I\to A\to A/I\to 0$ est exacte.

2. Si $M$ et $N$ sont deux $A$-modules, la suite :

   $$\begin{array}{r@{}c@{}l c c c c c c} 0 & \to & M & \to & M\oplus N & \to & N &\to 0 \\ & & m & \mapsto & (m,0) & & &\\ & & & & (m,n) & \mapsto & n & \end{array}$$

   est exacte.

3. La suite :

   $$\begin{array}{r@{}c@{}l c c c c c c} 0 & \to & A & \to & A\oplus A & \to & A &\to 0 \\ & & a & \mapsto & (a,a) & & &\\ & & & & (a,b) & \mapsto & a-b & \end{array}$$

   est exacte.

Proposition : On considère une suite exacte courte de $A$-modules : $0 \rightarrow M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \rightarrow 0$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $\exists s: M'' \rightarrow M$ t.q. $g\circ s = \mathrm{Id}_{M''}$. On dit que $s$ est une section de $g$.
2. $\exists t: M \rightarrow M'$ t.q. $t\circ f = \mathrm{Id}_{M'}$.
3. $\exists \phi: M \xrightarrow{\sim} M' \oplus M''$ isomorphisme t.q. $\phi\circ f$ est l'injection canonique $\iota:M'\to M'\oplus M''$, et $g=p\circ\phi$ est la composée de $\phi$ suivie la projection canonique $p:M'\oplus M''\to M''$.

Preuve :

• $\boxed{1. \Rightarrow 2.}$ Soit $s : M'' \to M$ une section de $g$, c'est-à-dire un morphisme de $A$-modules tel que $g \circ s = \mathrm{Id}_{M''}$. On considère

  $$\begin{align*}t:M&\to M'\\m&\mapsto m-s(g(m)).\end{align*} $$

  Comme $\forall m\in M$, $g(t(m)) = g(m - s(g(m))) = g(m) - (g \circ s)(g(m)) = g(m) - g(m) = 0$, l'image de $t$ est bien contenue dans $\text{Ker }g = \text{Im }f = M'$. (Nous identifions ici $M'$ avec $\text{Im }f$, c'est-à-dire que $M'\leq M$) De plus, $\forall m'\in M$, $t(f(m')) = f(m') - s(g(f(m'))) = f(m') = m'$, donc $t\circ f=\mathrm{Id}_{M}$.

• $\boxed{2.\Rightarrow 3.}$ On suppose qu'il existe un morphisme de $A$-modules $t : M \to M'$ tel que $t \circ f = \mathrm{Id}_{M'}$. On définit

  $$\begin{align*}\phi:M&\to M'\oplus M''\\m&\mapsto(t(m),g(m)).\end{align*} $$

  Injectivité de $\phi$ : Soit $m \in \text{Ker }\phi$. Alors $t(m) = 0$ et $g(m) = 0$. Du coup $m \in \text{Ker }g = M'$ et $t(m) = m$ car $t\circ f = \mathrm{Id}_M$. Donc $\text{Ker }\phi = 0$. Surjectivité de $\phi$ : Soit $(m', m'') \in M' \oplus M''$. Comme $g$ est surjective, il existe $m \in M$ tel que $g(m) = m''$. On cherche $m_1'\in M'$ t.q. $t(m+m_1') = m'$. Cela signifie que $t(m_1')=m'-t(m)$. On prend donc $m_1' = f(m'-t(m))$ de sorte que $t(m_1') = t(f(m'-t(m))) = m'-t(m)$. On a alors

  $$\phi(m+m_1') = (t(m+m_1'),g(m+m_1')) = (m',m''). $$

  Cela établit la surjectivité de $\phi$. On vérifie :

  $$\phi\circ f = (t\circ f,g\circ f) = (\mathrm{Id}_M,0) = \iota, $$

  $$p\circ\phi = p\circ(t,g) = g. $$

• $\boxed{3.\Rightarrow 1.}$ Considérons l'inclusion $j:M''\to M'\oplus M''$ puis le composée :

  $$s = \phi^{-1}\circ j:M''\xrightarrow{j}M'\oplus M''\xrightarrow{\phi^{-1}}M. $$

  Alors : $g\circ s = g\circ \phi^{-1}\circ j = p\circ j = \mathrm{Id}_{M''}$.