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2.12 Modules indécomposables
Définition : Soit $A$ un anneau (pas nécessairement commutatif). Un $A$-module $M$ est dit décomposable s'il s'écrit $M = M' \oplus M''$ avec $M'$ et $M''$ deux sous-modules non nuls.
Un module qui n'est pas décomposable est dit indécomposable.
Un module est totalement décomposable s'il est somme directe de modules indécomposables.
Exemples :
(1). $\mathbb{Z}$ en tant que $\mathbb{Z}$-module : indécomposable.
$\mathbb{Q}$ en tant que $\mathbb{Z}$-module : indécomposable (car pour tout $A, B \le_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ tels que $\mathbb{Q} = A + B$, on a $A \cap B \neq 0$).
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ en tant que $\mathbb{Z}$-module : indécomposable $\iff n = p^k$ avec $p \in \mathbb{P}$ et $k \in \mathbb{N}^*$.
(2). Prenons $A = \mathbb{Q}^I$ avec $I$ un ensemble infini, et $M = A$. Pour tout $B \le M$, il existe $J \subseteq I$ tel que $B = \mathbb{Q}^J$. Pour tout $B \le M$, si $B$ est indécomposable, alors $B = \mathbb{Q}^{\{i\}}$, où $i \in I$ (c'est-à-dire $|J| = 1$). Mais les $\left(\mathbb{Q}^{\{i\}}\right)_{i \in I}$ engendrent la somme directe $\mathbb{Q}^{(I)}$. Comme $\mathbb{Q}^{(I)} \neq M$, $M$ n'est pas totalement décomposable.
Définition : Un anneau (non nécessairement commutatif) $A$ est local si $A \setminus A^\times$ est un idéal bilatère.
Remarque : Supposons que $A$ est commutatif.
- Si $A \setminus A^\times$ est un idéal de $A$, alors pour tout idéal $I \subseteq A$ tel que $I \neq A$, on a $I \subseteq A \setminus A^\times$. Ainsi, $A \setminus A^\times$ est le seul idéal maximal de $A$.
- Réciproquement, si $A$ est local d'idéal maximal $\mathfrak{m}$, le théorème de Krull montre que $A \setminus \mathfrak{m} = A^\times$, d'où $A \setminus A^\times = \mathfrak{m}$.
Proposition : Soient $A$ un anneau commutatif et $M$ un $A$-module. Si $\text{End}_A(M)$ est local, alors $M$ est indécomposable.
Preuve : Par contraposée, on suppose $M$ décomposable. Cela signifie que $M = M' \oplus M''$ avec $M' \neq 0$ et $M'' \neq 0$.
Soient $p'$ et $p''$ les projections naturelles correspondantes sur $M'$ et $M''$. Comme $p'$ et $p''$ ne sont pas injectives, on a :
$$p', p'' \in \text{End}_A(M) \setminus \text{End}_A(M)^\times. $$
Mais comme :
$$p' + p'' = \text{Id}_M \in \text{End}_A(M)^\times, $$
on en déduit que $\text{End}_A(M)$ n'est pas local. Contradiction.
$\square$
En général, la réciproque est fausse.
- $\mathbb{Z}$ est un $\mathbb{Z}$-module, mais $\text{End}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$ n'est pas local.
- $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est indécomposable
$\iff n$ est une puissance d'un nombre premier
$\iff \text{End}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est local.
Définition : Soit $A$ un anneau. Un $A$-module $M$ est dit artinien si toute suite décroissante de sous-$A$-modules de $M$ est stationnaire.
Théorème : Soit $A$ un anneau. Soit $M$ un $A$-module noethérien, artinien et indécomposable. Alors $\text{End}_A(M)$ est local.
Lemme de Fitting : Soit $A$ un anneau. Soit $M$ un $A$-module noethérien et artinien. Soit $f \in \text{End}_A(M)$, alors on peut écrire $M = M_{+\infty} \oplus M_{-\infty}$ de sorte que :
- $M_{+\infty}$ et $M_{-\infty}$ sont stables par $f$.
- $f|_{M_{+\infty}} \in \text{Aut}_A(M_{+\infty})$.
- $f|_{M_{-\infty}}$ est nilpotent.
Preuve du lemme: On pose $M_{+\infty} = \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} \text{Im}(f^n)$ et $M_{-\infty} = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} \text{Ker}(f^n)$. Comme $M$ est noethérien (pour la stabilisation des noyaux) et artinien (pour la stabilisation des images), il existe un entier $n_0 \ge 0$ tel que :
$$M_{+\infty} = \text{Im}(f^{n_0}) \quad \text{et} \quad M_{-\infty} = \text{Ker}(f^{n_0}). $$
Montrons que $M = M_{+\infty} + M_{-\infty}$. Soit $m \in M$. Comme $M_{+\infty} = \text{Im}(f^{n_0}) = \text{Im}(f^{2n_0})$, on peut trouver $m' \in M$ tel que $f^{n_0}(m) = f^{2n_0}(m')$. On peut alors écrire :
$$m = \underbrace{m - f^{n_0}(m')}_{\in \text{Ker}(f^{n_0}) = M_{-\infty}} + \underbrace{f^{n_0}(m')}_{\in \text{Im}(f^{n_0}) = M_{+\infty}} $$
Montrons ensuite que $M_{+\infty} \cap M_{-\infty} = 0$. Soit $m \in M_{+\infty} \cap M_{-\infty}$, alors il existe $m' \in M$ tel que $m = f^{n_0}(m')$. Du coup :
$$f^{2n_0}(m') = f^{n_0}(m) = 0 \quad (\text{car } m \in \text{Ker}(f^{n_0}) = M_{-\infty}) $$
donc $m' \in \text{Ker}(f^{2n_0}) = M_{-\infty} = \text{Ker}(f^{n_0})$. On en déduit :
$$m = f^{n_0}(m') = 0. $$
On déduit de ces deux points que $M = M_{+\infty} \oplus M_{-\infty}$.
En se rappelant que $M_{+\infty} = \text{Im}(f^{n_0})$ et $M_{-\infty} = \text{Ker}(f^{n_0})$, on voit immédiatement que :
- $f|_{M_{+\infty}} \in \text{Aut}_A(M_{+\infty})$ (car $f$ y est surjective par stabilisation de l'image, et donc injective par noethérianité),
- $f|_{M_{-\infty}}$ est nilpotent (car $f^{n_0}$ s'y annule par définition).
$\square$
Preuve du théorème : On suppose $M$ indécomposable. Par le lemme de Fitting, tout endomorphisme de $M$ est soit inversible, soit nilpotent. Donc :
$$\text{End}_A(M) \setminus \text{End}_A(M)^\times $$
est l'ensemble des endomorphismes nilpotents de $M$.
Montrons que c'est un idéal bilatère. Pour ce faire, choisissons $f \in \text{End}_A(M)$ et $g, g' \in \text{End}_A(M) \setminus \text{End}_A(M)^\times$, et montrons que $f \circ g$, $g \circ f$ et $g + g'$ sont tous dans $\text{End}_A(M) \setminus \text{End}_A(M)^\times$.
Comme $g$ n'est pas injectif, $f \circ g$ n'est pas injectif, donc $f \circ g \notin \text{End}_A(M)^\times$.
Comme $g$ n'est pas surjectif, $g \circ f$ n'est pas surjectif, donc $g \circ f \notin \text{End}_A(M)^\times$.
Par l'absurde, supposons que $g + g' \in \text{End}_A(M)^\times$. Alors :
$$\exists h \in \text{End}_A(M) \quad \text{tel que} \quad (g + g') \circ h = \text{Id}_M $$
On a donc :
$$g \circ h = \text{Id}_M - g' \circ h $$
Comme $g$ et $g'$ ne sont pas inversibles, leurs composés $g \circ h$ et $g' \circ h$ ne le sont pas non plus. Par le lemme de Fitting, on sait déjà que $g \circ h$ et $g' \circ h$ sont nilpotents. Or, la somme (qui est en réalité finie) : $\sum\limits_{n \in \mathbb{N}} (g' \circ h)^n$ est l'inverse de $\text{Id}_M - g' \circ h$ dans $\text{End}_A(M)$. On en déduit que $g \circ h = \text{Id}_M - g' \circ h$ est inversible. Cela est absurde car un endomorphisme non nul ne peut pas être en même temps inversible et nilpotent.
Par conséquent, $g + g' \notin \text{End}_A(M)^\times$.
$\square$
Théorème de Krull-Schmidt :
Soit $A$ un anneau. On note $\text{Indec}(A)$ l'ensemble des $A$-modules indécomposables à isomorphisme près.
Soit $M$ un $A$-module noethérien ou artinien. Alors il existe une application $\kappa : \text{Indec}(A) \longrightarrow \mathbb{N}$ à support fini, telle que :
$$M \simeq \bigoplus_{N \in \text{Indec}(A)} N^{\kappa(N)} $$
Si $M$ est noethérien et artinien, alors l'application $\kappa$ est uniquement déterminée. Pour $N \in \text{Indec}(A)$, on appelle $\kappa(N)$ la multiplicité de $N$ dans $M$.
Remarque : En général, il est difficile de calculer les indécomposables sur $A$.
Preuve :
Démonstration de l'existence : Par l'absurde, on suppose qu'une telle fonction $\kappa$ n'existe pas. Du coup, $M$ n'est pas indécomposable. Il existe donc deux sous-modules non nuls $M_1^0, M_2^0 \le M$ tels que :
$$M = M_1^0 \oplus M_2^0 $$
Par hypothèse, l'un des deux modules $M_1^0$ ou $M_2^0$ n'est pas indécomposable. Sans perte de généralité, supposons qu'il s'agit de $M_1^0$. Il existe donc deux sous-modules non nuls $M_1^1, M_2^1 \le M_1^0$ tels que :
$$M_1^0 = M_1^1 \oplus M_2^1 $$
On itère ce processus en écrivant pour chaque $i \ge 0$ :
$$M_1^i = M_1^{i+1} \oplus M_2^{i+1} \quad \text{avec} \quad M_1^{i+1} \neq 0, \ M_2^{i+1} \neq 0 $$
Par hypothèse, ce processus ne s'arrête jamais, et du coup on a pour tout $i \in \mathbb{N}$ :
$$M = M_1^i \oplus M_2^i \oplus M_2^{i-1} \oplus \dots \oplus M_2^0 $$
On obtient alors une suite strictement croissante de sous-modules de $M$ :
$$M_2^0 \subsetneq M_2^0 \oplus M_2^1 \subsetneq M_2^0 \oplus M_2^1 \oplus M_2^2 \subsetneq \dots $$
ainsi qu'une suite strictement décroissante :
$$M_1^0 \supsetneq M_1^1 \supsetneq M_1^2 \supsetneq \dots $$
Cela contredit la noethérianité (pour la suite croissante) ou l'artinianité (pour la suite décroissante) de $M$.
Montrer l'unicité :
On suppose $M$ noethérien et artinien. Quitte à appliquer un simple processus inductif, il suffit de montrer la propriété suivante :
Propriété : Si $M, M', N_1, \dots, N_t$ sont des $A$-modules noethériens et artiniens tels que :
- $M, N_1, \dots, N_t$ sont indécomposables,
- $M \oplus M' \simeq N_1 \oplus \dots \oplus N_t$.
Alors, il existe un indice $s \in [\![ 1, t ]\!]$ tel que :
$$M \simeq N_s \quad \text{et} \quad M' \simeq \bigoplus_{i \neq s} N_i $$
Pour ce faire, on introduit l'isomorphisme de (ii) :
$$\Phi = \begin{bmatrix} \varphi_1 & \varphi'_1 \\ \vdots & \vdots \\ \varphi_t & \varphi'_t \end{bmatrix} : M \oplus M' \longrightarrow \bigoplus_{i=1}^t N_i$$
et son inverse :
$$\Psi = \begin{bmatrix} \psi_1 & \dots & \psi_t \\ \psi'_1 & \dots & \psi'_t \end{bmatrix} : \bigoplus_{i=1}^t N_i \longrightarrow M \oplus M'$$
On écrit ce que signifie les relations d'identité $\Phi \circ \Psi = \text{Id}_{\bigoplus N_i}$ et $\Psi \circ \Phi = \text{Id}_{M \oplus M'}$ :
$$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^t \psi_i \circ \varphi_i = \text{Id}_M & (1) \\ \sum\limits_{i=1}^t \psi'_i \circ \varphi'_i = \text{Id}_{M'} & (2) \\ \sum\limits_{i=1}^t \psi_i \circ \varphi'_i = 0 & (3) \\ \sum\limits_{i=1}^t \psi'_i \circ \varphi_i = 0 & (4) \\ \varphi_i \circ \psi_j + \varphi'_i \circ \psi'_j = \delta_{ij} \text{Id}_{N_i} & (5) \\ \end{cases} $$
Comme $M$ est noethérien, artinien et indécomposable, son anneau d'endomorphismes $\text{End}_A(M)$ est un anneau local. D'après la relation $(1)$, il existe donc un indice $s \in [\![ 1, t ]\!]$ tel que :
$$\psi_s \circ \varphi_s \in \text{End}_A(M)^\times $$
On note cet automorphisme $p_s = \psi_s \circ \varphi_s$. En particulier, $\varphi_s$ est injectif et $\psi_s$ est surjectif.
De plus, on a une suite exacte qui est scindée :
$$0 \longrightarrow \text{Ker }\psi_s \longrightarrow N_s \xrightarrow{\ \psi_s\ } M \longrightarrow 0 $$
dont la section est donnée par $\varphi_s \circ p_s^{-1}$ (car $\psi_s \circ (\varphi_s \circ p_s^{-1}) = \text{Id}_M$).
On en déduit la décomposition en somme directe :
$$N_s = \text{Ker }\psi_s \oplus M $$
Or, $N_s$ est indécomposable par hypothèse, ce qui implique $\text{Ker }\psi_s = 0$. Ainsi, $\varphi_s$ et $\psi_s$ sont des isomorphismes réciproques (à l'automorphisme $p_s$ près) entre $M$ et $N_s$.
Il reste à montrer que $M' \simeq \bigoplus_{i \neq s} N_i$ :
On définit les morphismes suivants :
$$ \Psi' = \begin{bmatrix} \psi'_1 & \dots & \widehat{\psi'_s} & \dots & \psi'_t \end{bmatrix} : \bigoplus_{i \neq s} N_i \longrightarrow M' $$
$$ \Phi' = \begin{bmatrix} \varphi'_1 - \varphi_1 \circ \varphi_s^{-1} \circ \varphi'_s \\ \vdots \\ \widehat{{\small \varphi'_s - \varphi_s \circ \varphi_s^{-1} \circ \varphi'_s}} \\ \vdots \\ \varphi'_t - \varphi_t \circ \varphi_s^{-1} \circ \varphi'_s \end{bmatrix} : M' \longrightarrow \bigoplus_{i \neq s} N_i $$
(où le symbole $\widehat{\cdot}$ signifie l'omission du terme correspondant).
Pour tous indices $j, k \neq s$, on a d'après la relation $(5)$ :
$$\varphi'_s \circ \psi'_k + \varphi_s \circ \psi_k = \delta_{sk} \text{Id}_{N_s} = 0 \implies \varphi'_s \circ \psi'_k = -\varphi_s \circ \psi_k $$
On peut alors calculer la composition $\Phi' \circ \Psi'$ composante par composante :
$$\begin{align*} \left(\varphi'_j - \varphi_j \circ \varphi_s^{-1} \circ \varphi'_s\right) \circ \psi'_k &= \varphi'_j \circ \psi'_k - \varphi_j \circ \varphi_s^{-1} \circ \varphi'_s \circ \psi'_k \\ &= \left(\delta_{jk} \text{Id}_{N_j} - \varphi_j \circ \psi_k\right) - \varphi_j \circ \varphi_s^{-1} \circ \left(-\varphi_s \circ \psi_k\right) \\ &= \delta_{jk} \text{Id}_{N_j} - \varphi_j \circ \psi_k + \varphi_j \circ \psi_k \\ &= \delta_{jk} \text{Id}_{N_j} \end{align*} $$
On obtient donc :
$$\Phi' \circ \Psi' = \text{Id}_{\bigoplus\limits_{i \neq s} N_i} $$
Calculons à présent la composition dans l'autre sens, $\Psi' \circ \Phi'$ :
$$\begin{align*} \sum_{j \neq s} \psi'_j \circ \left(\varphi'_j - \varphi_j \circ \varphi_s^{-1} \circ \varphi'_s\right) &= \sum_{j \neq s} \psi'_j \circ \varphi'_j - \left(\sum_{j \neq s} \psi'_j \circ \varphi_j\right) \circ \varphi_s^{-1} \circ \varphi'_s \end{align*} $$
En utilisant les relations $(2)$ et $(4)$, on a :
- $\sum_{j \neq s} \psi'_j \circ \varphi'_j = \text{Id}_{M'} - \psi'_s \circ \varphi'_s$
- $\sum_{j \neq s} \psi'_j \circ \varphi_j = -\psi'_s \circ \varphi_s$
En injectant ces deux égalités dans le calcul précédent, on obtient :
$$\begin{align*} \Psi' \circ \Phi' &= \left(\text{Id}_{M'} - \psi'_s \circ \varphi'_s\right) - \left(-\psi'_s \circ \varphi_s\right) \circ \varphi_s^{-1} \circ \varphi'_s \\ &= \text{Id}_{M'} - \psi'_s \circ \varphi'_s + \psi'_s \circ \varphi'_s \\ &= \text{Id}_{M'} \end{align*} $$
On a donc bien :
$$\Psi' \circ \Phi' = \text{Id}_{M'} $$
Ces deux relations d'identité prouvent que $\Psi'$ et $\Phi'$ sont des isomorphismes réciproques, ce qui achève de démontrer que :
$$M' \simeq \bigoplus_{i \neq s} N_i $$
$\square$