2.6 Modules de type fini

Définition : Soient $A$ un anneau et $M$ un $A$-module. On dit que $M$ est de type fini s'il admet une famille génératrice finie.

Remarques :

1. Un quotient d'un module de type fini est de type fini.
2. Mais un sous-module n'est pas nécessairement de type fini.

Exemple : $A = \mathbb{Z}[X_n, n \in \mathbb{N}]$, $I = (X_1, X_2, \dots)$.

Il suffit de prendre un idéal qui n'est pas finiment engendré dans un anneau non noethérien.

Théorème (Cayley-Hamilton) : Soit $A$ un anneau commutatif et $M$ un $A$-module de type fini. Soit $(m_1, \dots, m_n)$ une famille génératrice finie. Soit $u \in \mathrm{End}_A(M)$ et écrivons $u(m_i) = \sum\limits_{j=1}^n a_{ij} m_j$, avec $a_{ij} \in A$.

Soit $R = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(A)$. On pose $\chi(X) = \det(X I_n - R) \in A[X]$, alors :

$$\chi(u) = 0 \in \mathrm{End}_A(M) $$

Remarque : En appliquant ce théorème, il est important de bien choisir la famille $(m_1, \dots, m_n)$ et les $(a_{ij})$.

Exemple : Situation courante : $u(M) \subseteq IM$ où $I \subset A$ est un idéal de $A$. Dans ce cas, on peut choisir les $a_{ij}$ dans $I$. Du coup, $\chi(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \dots + a_n$, où $a_i \in I$.

Rappel : Pour tout $M \in \mathcal{M}_n(A)$ :

• $M \in \mathrm{GL}_n(A) \iff M \in \mathcal{M}_n(A)^\times \iff \det M \in A^\times$
• $M \cdot {}^t\mathrm{Com}(M) = {}^t\mathrm{Com}(M) \cdot M = \det M \cdot I_n$

Preuve : On munit $M$ d'une structure de $A[X]$-module via : $P \cdot m = P(u)(m)$ pour $P \in A[X]$ et $m \in M$. On a alors :

$$(X I_n - R) \begin{bmatrix} m_1 \\ \vdots \\ m_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} $$

donc :

$$\det(X I_n - R) \begin{bmatrix} m_1 \\ \vdots \\ m_n \end{bmatrix} = {}^t\mathrm{Com}(X I_n - R) \cdot (X I_n - R) \begin{bmatrix} m_1 \\ \vdots \\ m_n \end{bmatrix} = 0 $$

Donc $\chi(X) \cdot M = 0$, puisque $M$ est engendré par $m_1, \dots, m_n$. Cela signifie que $\chi(u) = 0 \in \mathrm{End}_A(M)$.

---

Corollaire 1 : Soit $A$ un anneau commutatif, $M$ un $A$-module de type fini, et $I \subset A$ un idéal tel que $M = IM$. Alors $\exists a \in I$ tel que $(1+a)M = 0$.

Preuve : On applique le théorème à $u = \mathrm{Id}_M$. Comme $u(M) \subseteq IM$, on trouve :

$$\chi(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \dots + a_n \in A[X] \quad \text{avec } a_i \in I, \forall i, \text{ t.q. } \chi(u) = 0 $$

Du coup, $\mathrm{Id} + a_1 \mathrm{Id} + \dots + a_n \mathrm{Id} = 0$, donc $(1 + a_1 + \dots + a_n)M = 0$. En posant $a = a_1 + \dots + a_n$, on a bien $a \in I$.

Corollaire 2 : Soit $A$ un anneau commutatif. Soit $M$ un $A$-module de type fini. Tout endomorphisme surjectif de $M$ est bijectif.

Preuve : Soit $f$ un endomorphisme surjectif de $M$. On munit $M$ de la structure de $A[X]$-module donnée par $P \cdot m = P(f)(m)$, pour $P \in A[X]$ et $m \in M$. Comme $f$ est surjectif, $M = IM$ avec $I = (X)$ l'idéal monogène de $A[X]$. Par le Corollaire 1, $\exists P \in I$ tel que $(1+P)M = 0$. On écrit $P = XQ$, d'où $(1 + XQ)M = 0$. Autrement dit, $\mathrm{Id}_M + f \circ Q(f) = 0$, donc $-Q(f)$ est l'inverse de $f$.

Remarque : Pour l'injectivité, ce n'est pas vrai : $\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z}$ en tant que $\mathbb{Z}$-module.

Corollaire 3 : Soit $A$ un anneau commutatif. Soit $M$ un $A$-module libre de rang $n \in \mathbb{N}$. Toute famille génératrice à $n$ éléments de $M$ est une base.

Preuve : Comme $\mathrm{rg}\, M = n$, on peut supposer $M = A^n$ (libre). Une famille génératrice à $n$ éléments de $M$ induit un morphisme surjectif : $A^n \to M = A^n$. Par le Corollaire 2, il est bijectif, et donc la famille génératrice est bien une base.