Résolvante, équations différentielles linéaires autonomes

Plan :

1. Cas non homogène
2. Équation différentielles d'ordre $n$
3. Équation différentielles linéaires autonomes
4. Exponentielles de matrices
5. Calcul de l'exponentielle dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$

1) Cas non homogène

On s'intéresse maintenant au cas non homogène :

$$\textcolor{blue}{(*)} \quad \begin{cases} x'(t) = A(t) x(t) + b(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$

Par linéarité, la différence de deux solutions de $\textcolor{blue}{(*)}$ est solution de l'équation homogène avec $b=0$.
Ainsi, si $v$ est une solution quelconque de $\textcolor{blue}{(*)}$, toute solution $x$ de $\textcolor{blue}{(*)}$ s'écrit $x = u+v$ avec $u$ solution de l'équation homogène.

La résolvante est utile pour donner une formule explicite pour la solution de $\textcolor{blue}{(*)}$ et aussi pour trouver une solution de $\textcolor{blue}{(*)}$ en pratique.

Rappelons que pour $t_0 \in I$, $R_A(t,t_0) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifie :

$$\begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial t} R_A(t, t_0) = A(t) R_A(t, t_0) \\ R_A(t_0, t_0) = I_n \end{cases} $$

Théorème : (Formule de Duhamel) Soient $t_0 \in I$, $x_0 \in \mathbb{R}^n$. L'unique solution de

$$\begin{cases} x'(t) = A(t) x(t) + b(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$

est :

$$u(t) = R(t, t_0) x_0 + \int_{t_0}^t R(t, s) b(s) \, ds $$

Preuve : Par unicité, il suffit de vérifier que $u$ est solution :

$u(t_0) = R(t_0, t_0) x_0 + 0 = x_0$ et

$$\begin{aligned} u'(t) &= \frac{d}{dt} R(t, t_0) x_0 + \frac{d}{dt} F(t, t) \quad{\small \left(\text{avec } F(u, t) := \int_{t_0}^u R(t, s) b(s) \, ds\right)} \\ &= \frac{d}{dt} R(t, t_0) x_0 + \frac{\partial F}{\partial u} (t, t) + \frac{\partial F}{\partial t} (t, t) \\ &= \frac{d}{dt} R(t, t_0) x_0 + R(t, t) b(t) + \int_{t_0}^t \frac{\partial}{\partial t} R(t, s) b(s) \, ds \\ &= A(t) R(t, t_0) x_0 + b(t) + \int_{t_0}^t A(t) R(t, s) b(s) \, ds \\ &= A(t) \left( R(t, t_0) x_0 + \int_{t_0}^t R(t, s) b(s) \, ds \right) + b(t) \\ &= A(t) u(t) + b(t) \end{aligned} $$

En pratique, on utilise souvent la méthode de "la variation de la constante" pour trouver une solution particulière sous la forme $v(t) = R(t, t_0) c(t)$.

En dérivant :

$$\begin{align*} v'(t) &= \frac{d}{dt} R(t, t_0) c(t) + R(t, t_0) c'(t) \\ &= A(t) \underbrace{R(t,t_0)c(t)}_{v(t)} + R(t,t_0)c'(t) \end{align*} $$

Ainsi :

$$c'(t) = R(t_0, t) b(t) $$

On peut donc choisir une solution particulière sous la forme :

$$v(t) = R(t, t_0) \int_{t_0}^t R(t_0, s) b(s) \, ds = \int_{t_0}^t R(t, s) b(s) \, ds \quad (v(t_0) = 0) $$

Cas particulier : ($n=1, A(t)=a$)

Si $x'(t) = a x(t) + b(t)$,

$$x(t) = e^{(t-t_0)a} x(t_0) + \int_{t_0}^t e^{(t-s)a} b(s) \, ds $$

2) Équations différentielles linéaires d'ordre $n$

Une équation différentielle linéaire d'ordre $n$ (scalaire) est de la forme :

$$y^{(n)}(t) + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(t) y^{(i)}(t) = \beta(t) \quad \textcolor{blue}{(\dagger)} $$

où $a_i : I \to \mathbb{R}$, $\beta : I \to \mathbb{R}$ sont continues.

Proposition : L'équation $\textcolor{blue}{(\dagger)}$ se réécrit, en posant $x = (y, y', \dots, y^{(n-1)})^{T}$, sous la forme $x'(t) = A(t) x(t) + b(t)$ où :

$$A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & 0 \\ & \ddots & \ddots & \\ 0 & & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \dots & -a_{n-1} \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad b(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \beta(t) \end{pmatrix} $$

Ainsi, dans le cas $\beta = 0$, $n$ solutions $v_1, \dots, v_n : I \to \mathbb{R}$ forment une base ssi la matrice wronskienne

$$W(t) = \begin{pmatrix} v_1(t) & \dots & v_n(t) \\ \vdots & & \vdots \\ v_1^{(n-1)}(t) & \dots & v_n^{(n-1)}(t) \end{pmatrix} $$

est inversible pour tout $t \in I$. Et si $(v_1, \dots, v_n)$ est une base, alors pour toute solution $v$ de $\textcolor{blue}{(\dagger)}$ il existe $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{R}$ tels que $\forall t \in I$ :

$$\begin{cases} v(t) = \lambda_1 v_1(t) + \dots + \lambda_n v_n(t) \\ v'(t) = \lambda_1 v_1'(t) + \dots + \lambda_n v_n'(t) \\ \quad\vdots \\ v^{(n-1)}(t) = \lambda_1 v_1^{(n-1)}(t) + \dots + \lambda_n v_n^{(n-1)}(t) \end{cases} $$

3) Équations différentielles linéaires autonomes

Les équations différentielles linéaires autonomes sont de la forme :

$$x'(t) = A x(t) $$

avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) et $x : \mathbb{R} \to \mathbb{K}^n$.
($A$ ne dépend pas de $t$ : on parle aussi d'équations différentielles linéaires à coefficients constants).

Cas particulier : $A$ est une matrice diagonale

$$A = \begin{pmatrix} a_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_n \end{pmatrix} $$

On vérifie alors que la solution de $x'(t) = A x(t)$ est :

$$x(t) = \begin{pmatrix} x_1(t_0) e^{a_1(t-t_0)} \\ \vdots \\ x_n(t_0) e^{a_n(t-t_0)} \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} e^{a_1(t-t_0)} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & e^{a_n(t-t_0)} \end{pmatrix}}_{\text{matrice not\'ee } e^{(t-t_0)A}} x(t_0) $$

Ici nous avons une solution explicite, qui permet d'en déduire le comportement asymptotique des solutions :

• Si $a_i < 0 \ \forall i$, alors toute solution $x$ vérifie $x(t) \xrightarrow[t \to +\infty]{} 0$
• Si $a_i \le 0 \ \forall i$, alors toute solution est bornée
• Si $\exists a_i > 0$, alors $\|x(t)\| \xrightarrow[t \to +\infty]{} +\infty$ pour toute solution telle que $x_{i}(t_0) \ne 0$.
• etc.

Autre cas intéressant : Supposons $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable. On peut alors écrire $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale et $P \in GL_n(\mathbb{R})$.
On vérifie alors que la solution de :

$$\begin{cases} x'(t) = A x(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$

est $x(t) = P e^{(t-t_0)D} P^{-1} x(t_0)$.
En effet :

$$x'(t) = P D e^{(t-t_0)D} P^{-1} x(t_0) = A P e^{(t-t_0)D} P^{-1} x(t_0) = A x(t). $$

Plus généralement, nous allons voir que les solutions se calculent à l'aide de la notion d'exponentielle de matrice.

4) Exponentielle de matrices

Commençons par quelques rappels.

Ici $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ d'une norme $\|\cdot\|$ multiplicative ($\|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|$, $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$), par exemple $\|A\| = \sup\limits_{\|x\|=1} \|Ax\|$.

Définition : L'exponentielle de matrice est l'application :

$$\begin{aligned} \exp : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) &\to \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \\ A &\mapsto \exp(A) = e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} \end{aligned} $$

La série est bien définie car $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}$ converge absolument :

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\|A^k\|}{k!} \le \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\|A\|^k}{k!} = e^{\|A\|} < \infty $$

Rappelons quelques propriétés (sans preuve) de l'exponentielle :

Proposition :

• $\exp$ est $\mathcal{C}^{\infty}$
• $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $t \mapsto e^{tA}$ est dérivable et $\dfrac{d}{dt} e^{tA} = A e^{tA} = e^{tA} A$
• $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $\exp(A)$ est inversible et $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$
• Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutent ($AB=BA$), alors $\exp(A+B) = \exp(A) \exp(B)$
• Si $P \in GL_n(\mathbb{K})$, $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $P e^A P^{-1} = e^{P A P^{-1}}$
• Si $D = {\small\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}}$ est diagonale, alors $\exp(D) = {\small\begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix}}$

Exemple : Pour $a, b \in \mathbb{R}$ on a :

$$\exp \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = e^a \begin{pmatrix} \cos(b) & -\sin(b) \\ \sin(b) & \cos(b) \end{pmatrix} $$

En effet, écrivons $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = a I_2 + b M$ avec $M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.
Comme $I_2$ et $M$ commutent, $\exp \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = e^a e^{bM}$.
Mais $M^2 = -I_2$, de sorte que :

$$\begin{aligned} e^{bM} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} b^k M^k \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k)!} b^{2k} (-1)^k I_2 + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} b^{2k+1} (-1)^k M \\ &= \cos(b) I_2 + \sin(b) M \end{aligned} $$

Théorème : Soient $t_0 \in \mathbb{R}$, $x_0 \in \mathbb{K}^n$. Alors la solution de :

$$\begin{cases} x'(t) = A x(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$

est $x(t) = e^{(t-t_0)A} x_0$ pour $t \in \mathbb{R}$.

Preuve : Si $x(t) = e^{(t-t_0)A} x_0$, on a $x(t_0) = e^0 x_0 = I_n x_0 = x_0$ et $x'(t) = A e^{(t-t_0)A} x_0 = A x(t)$.
L'unicité provient du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.

Remarque : On peut démontrer l'unicité directement :

si $y$ est une autre solution de $\begin{cases} x'(t) = A x(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases}$, posons $z(t) = e^{-(t-t_0)A} y(t)$.
Alors :

$$z'(t) = -A e^{-(t-t_0)A} y(t) + e^{-(t-t_0)A} \underbrace{y'(t)}_{A y(t)} = 0 \quad \text{car } A e^{tA} = e^{tA} A $$

Donc $z$ est constante. Comme $z(t_0) = x_0$, on obtient :

$$y(t) = e^{(t-t_0)A} z(t_0) = e^{(t-t_0)A} x_0 $$

Lorsque $A$ est diagonalisable, $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale et $P \in GL_n(\mathbb{K})$,
$e^{tA} = P e^{tD} P^{-1}$ et on retrouve le fait que la solution est $x(t) = P e^{(t-t_0)D} P^{-1} x(t_0)$.

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Dans le cas général, la théorie de la réduction des endomorphismes permet de calculer l'exponentielle de matrice.

5) Calcul de l'exponentielle dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$

Rappelons quelques notions de réduction.
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

• $\lambda \in \mathbb{C}$ est une valeur propre de $A$ si $\exists v \in \mathbb{C}^n, v \ne 0$, avec $Av = \lambda v$.
• Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique $P_A(X) = \det(X I_n - A)$ de $A$.
  Ainsi, si $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ sont les différentes valeurs propres de $A$, on a :

  $$P_A(X) = (X - \lambda_1)^{p_1} \dots (X - \lambda_r)^{p_r} $$

  où $p_1, \dots, p_r \ge 1$ vérifient $p_1 + \dots + p_r = n$.
  $p_i$ est la multiplicité algébrique de $\lambda_i$.

Théorème : (Cayley-Hamilton)

Toute matrice annule son polynôme caractéristique :

$$P_A(A) = (A - \lambda_1 I_n)^{p_1} \dots (A - \lambda_r I_n)^{p_r} = 0 $$

• Le sous-espace propre associé à $\lambda_i$ est $E_i = E_{\lambda_i} = \ker(A - \lambda_i I_n)$.
  Sa dimension $g_i = \dim E_i$ est appelée multiplicité géométrique de $\lambda_i$.
• Le sous-espace caractéristique associé à $\lambda_i$ est $\Gamma_i = \ker(A - \lambda_i I_n)^{p_i}$.
  Ainsi, $E_i \subset \Gamma_i$ mais ces espaces peuvent être différents.

Théorème : (de décomposition des noyaux) On a $\mathbb{C}^n = \Gamma_1 \oplus \dots \oplus \Gamma_r$ et :

1. $\dim \Gamma_i = p_i$
2. $\forall x \in \Gamma_i, \ x \in \Gamma_i \Rightarrow Ax \in \Gamma_i$
3. La restriction de $A$ à $\Gamma_i$ s'écrit :

   $$A|_{\Gamma_i} = \lambda_i I_{\Gamma_i} + N_i $$

   avec $I_{\Gamma_i}$ l'identité sur $\Gamma_i$ et $N_i : \Gamma_i \to \Gamma_i$ est nilpotent d'indice $\le p_i$, c'est-à-dire $N_i^{p_i} = 0$.

Remarques :

• Le fait que $N_i^{p_i} = 0$ est une conséquence de la définition de $\Gamma_i$, mais il se peut que $N_i^{m_i} = 0$ avec $m_i < p_i$.
• Une matrice est diagonalisable s'il existe une base de $\mathbb{C}^n$ de vecteurs propres, ce qui est équivalent à $\mathbb{C}^n = E_1 \oplus \dots \oplus E_r$.
  D'après le théorème, ce n'est possible que si $E_i = \Gamma_i \ \forall i$. Ainsi $A$ est diagonalisable ssi $\forall 1 \le i \le r, \ \dim E_i = p_i$.
• En choisissant une base adaptée à la décomposition, on obtient $P \in GL_n(\mathbb{C})$ tel que $P^{-1} A P = D+N$ avec $D$ diagonale, d'éléments diagonaux $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ avec $\lambda_i\,$ $p_i$ fois, et :

  $$N = \begin{pmatrix} N_1 & & \\ & \ddots & \\ & & N_r \end{pmatrix} \quad \text{avec } N_i \text{ nilpotents} $$

Le théorème de Jordan permet de mettre $N$ sous forme relativement simple :

Théorème de Jordan:

Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $\exists P \in GL_n(\mathbb{C})$ tel que $P^{-1} A P$ s'écrit par blocs :

$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} J_1 & & \\ & \ddots & \\ & & J_r \end{pmatrix}$ avec $J_i \in \mathcal{M}_{p_i}(\mathbb{C})$ de la forme $J_i = \begin{pmatrix} J_{i,1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & J_{i,\ell_i} \end{pmatrix}$

avec $J_{i,k} = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & 0 \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & \lambda_i \end{pmatrix}$ une matrice carrée de taille $n_{i,k} \in \{1, \dots, p_i\}$.

On appelle $J = P^{-1} A P$ la forme réduite de Jordan de $A$ et les matrices $J_{i,k}$ les blocs de Jordan. La dimension $n_{i,k}$ est appelée taille du bloc.

Remarque : Il est possible de montrer que le nombre de blocs avec $\lambda_i$ sur la diagonale de taille $\ge d$ est $\dim \ker(A-\lambda_i I_n)^d - \dim \ker(A-\lambda_i I_n)^{d-1}$.

Exemple:

$$J = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & & & \\ & \lambda_1 & 1 & & & \\ & & \lambda_1 & & & \\ & & & \lambda_1 & 1 & 0 \\ & & & & \lambda_1 & 1 \\ & & & & & \lambda_1 \end{pmatrix} $$

est une réduite de Jordan avec $p_1 = 6$ et $\ell_1 = 3$ et $3$ blocs de tailles $1$, $2$, $3$.

Remarque : Si $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & 0 \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $N$ est nilpotent d'ordre $n$ et on a $N^k = \begin{pmatrix} & I_{n-k} \\ O_k\end{pmatrix}$ .

Ceci permet de calculer l'exponentielle d'une forme réduite de Jordan, qui se ramène au calcul de l'exponentielle d'un bloc de la forme :

$$J_{i,k} = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & 0 \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & \lambda_i \end{pmatrix} = \lambda_i I + N_{i,k} $$

Notons $n_{i,k}$ sa taille.
On a alors :

$$e^{t J_{i,k}} = e^{t \lambda_i I + t N_{i,k}} = e^{t \lambda_i I} e^{t N_{i,k}} = e^{t \lambda_i} e^{t N_{i,k}} $$

Comme $N_{i,k}$ est nilpotente d'ordre $n_{i,k}$, on a :

$$e^{t N_{i,k}} = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(t N_{i,k})^l}{l!} = \sum_{l=0}^{n_{i,k}-1} \frac{(t N_{i,k})^l}{l!} = \begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2!} & \dots & \frac{t^{n_{i,k}-1}}{(n_{i,k}-1)!} \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & \ddots & \frac{t^2}{2!} \\ & & & \ddots & t \\ 0 & & & & 1 \end{pmatrix} $$

On a ainsi :

$$e^{tA} = P \begin{pmatrix} e^{t J_1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & e^{t J_r} \end{pmatrix} P^{-1} $$

Corollaire : Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Toute solution de $x'(t) = A x(t)$ dans $\mathbb{C}^n$ s'écrit sous la forme :

$$x(t) = \sum_{i=1}^r e^{t \lambda_i} \left( \sum_{k=0}^{m_i-1} t^k v_{i,k} \right) \quad \text{où } v_{i,k} \in \Gamma_i $$

avec $m_i = \max\limits_{1 \le k \le \ell_i} n_{i,k}$.
Le terme $\sum\limits_{k=0}^{m_i-1} t^k v_{i,k}$ est constant quand $m_i = 1$ (ce qui est le cas quand $A$ est diagonalisable).

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On en déduit :

Théorème : Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, notons $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ ses valeurs propres.
On pose :

• $\Gamma^s = \bigoplus\limits_{\text{Re}(\lambda_i) < 0} \Gamma_i$ (espace stable)
• $\Gamma^u = \bigoplus\limits_{\text{Re}(\lambda_i) > 0} \Gamma_i$ (espace instable)
• $\Gamma^c = \bigoplus\limits_{\text{Re}(\lambda_i) = 0} \Gamma_i$ (espace indifférent)

Soit $x$ une solution de $x'(t) = A x(t)$. Alors :

1. $x(0) \in \Gamma^s \Leftrightarrow \lim_{t \to +\infty} \|x(t)\| = 0$
2. $x(0) \in \Gamma^u \Leftrightarrow \lim_{t \to -\infty} \|x(t)\| = 0$
3. $x(0) \in \Gamma^c \Leftrightarrow \exists M, C > 0$ tel que pour $|t|$ assez grand :

$$ \frac{1}{C} \|x(0)\| \le \|x(t)\| \le C |t|^M \|x(0)\| $$

Pour un $x(0)$ général, on le décompose en $x^s + x^u + x^c$.