CFMath - Notes de cours

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2.1 Définition et exemples ​

Définition : Soit $A$ un anneau (pas forcément commutatif). Soit $(M, +)$ un groupe abélien. On dit que $(M,+)$ est un $A$-module (à gauche) s'il est muni d'une loi de composition externe :

$$\begin{align*}A\times M&\rightarrow M\\(a,m)&\mapsto a\cdot m\quad (a\text{ agit sur }m)\end{align*} $$

vérifiant les axiomes suivants :

  1. $\forall a_{1},a_{2}\in A$, $\forall m\in M$, $(a_{1}+a_{2})\cdot m=a_{1}\cdot m+a_{2}\cdot m$
  2. $\forall a\in A$, $\forall m_{1},m_{2}\in M$, $a\cdot(m_{1}+m_{2}) = a\cdot m_{1}+a\cdot m_{2}$
  3. $\forall a_{1},a_{2}\in A$, $\forall m\in M$, $a_{1}\cdot(a_{2}\cdot m)=a_{1}a_{2}\cdot m$
  4. $\forall m\in M$, $1\cdot m=m$

Remarque 1 : De manière équivalente, munir $(M,+)$ d'une structure de $A$-module revient à le munir d'un morphisme d'anneaux : $A\rightarrow \mathrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)$ endomorphismes de $M$ comme groupe abélien : $\alpha\mapsto(m\mapsto a\cdot m)$.

Remarque 2 : Si $A$ est un anneau commutatif, une $A$-algèbre est un anneau et un $A$-module t.q. :

  1. Les structures de groupe additif sous-jacentes coïncident.
  2. $\forall a\in A$, $\forall x,y$, $a\cdot(xy) = (a\cdot x)y = x(a\cdot y)$.

Exemples :

  1. Se donner un $\mathbb{Z}$-module, c'est la même chose que se donner un groupe abélien. (En fait, chaque groupe abélien peut être vu comme un $\mathbb{Z}$-module)

  2. Si $A=\mathbb{K}$ est un corps, se donner un $\mathbb{K}$-module, c'est la même chose que se donner un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.

  3. $\forall n$, $A^n$ est un $A$-module à gauche. Plus généralement :

    $$A^{I}=\prod_{I}A = \{f:I\rightarrow A\}=\{(a_i)_{i\in I}\mid a_i\in A\} $$

    $$A^{(I)} = \{(a_{i})_{i \in I} \in A^{I} \mid a_{i}=0 \text{ pour presque tout } i\} $$

    sont des $A$-modules à gauche. On dit que $A^{(I)}$ est le $A$-module libre de base $I$.

  4. Si $I$ est un idéal bilatère de $A$, alors $I$ et $A/I$ sont des $A$-modules à gauche.

  5. Soit $\mathbb{K}$ un corps. Soit $V$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $u \in \mathrm{End}_{\mathbb{K}}(V)$. On peut munir $V$ d'une structure de $\mathbb{K}[X]$-module par : $P\cdot v = P(u)(v)$, pour $P\in\mathbb{K}[X], v\in V$.

    Conclusion : Se donner un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $V$ revient à munir $V$ d'une structure de $\mathbb{K}[X]$-module.

  6. De même :

    • $u\in\mathrm{GL}(V)\iff$ munir $V$ d'une structure de $\mathbb K[x,x^{-1}]$-module.
    • $u_1, \dots, u_n \in \mathrm{End}_{\mathbb{K}}(V)$ commutent $\iff$ munir $V$ d'une structure de $\mathbb{K}[X_1, \dots, X_n]$-module.
    • $u_1, \dots, u_n \in \mathrm{GL}(V)$ commutent $\iff$ munir $V$ d'une structure de $\mathbb{K}[X_1, \dots, X_n, X_1^{-1}, \dots, X_n^{-1}]$-module.
    • $u_1, \dots, u_n \in \mathrm{End}_{\mathbb{K}}(V)$$\iff$ munir $V$ d'une structure de $\underbrace{\mathbb{K}\langle X_1, \dots, X_n \rangle}_{\text{polyn\^omes non commutatifs}}$-module.
    • $u_1,\dots,u_n\in\mathrm{GL}(V)\iff$ munir $V$ d'une structure de $\mathbb{K}\langle X_1, \dots, X_n, X_1^{-1},\dots,X_n^{-1}\rangle$-module.

  7. Prenons $M$ un monoïde. On introduit l'algèbre de monoïde $\mathbb{K}[M]$ :

    $$\mathbb{K}[M] = \left\{ \sum_{m\in M} c_m [m] \ \middle|\ c_m \in \mathbb{K} \text{ sont presque tous nuls} \right\}, $$

    où $[m]$ représente formellement l'élément $m$ du monoïde, $([m])_{m\in M}$ forme une base de $\mathbb{K}[M]$ comme un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. C'est aussi un anneau pour la multiplication :

    $$\left(\sum_{m}c_m[m]\right)\left(\sum_{n}d_n[n]\right) := \sum_{m,n} c_m d_n [mn]. $$

    Exemples :

    • $\mathbb{K}[(\mathbb{N},+)]=\mathbb{K}[X]$
    • $\mathbb{K}[(\mathbb{Z},+)]=\mathbb{K}[X,X^{-1}]$
    • $\mathbb{K}[(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)]=\mathbb{K}[X]/(X^n-1)$
    • $\mathbb{K}[\mathbb{N}^n] = \mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]$
    • $\mathbb{K}[\mathbb{Z}^n] = \mathbb{K}[X_1,\dots,X_n,X_1^{-1},\dots,X_n^{-1}]$
    • $\mathbb{K}[\underbrace{\mathbb{N}^{*n}}_{\text{mots en }n\text{ lettres }a_1,\dots,a_n}]=\mathbb{K}\langle X_1,\dots,X_n\rangle$
    • $\mathbb{K}[\underbrace{\mathbb{Z}^{*n}}_{\text{groupe libre de rang }n}]=\mathbb{K}\langle X_1,\dots,X_n,X_1^{-1},\dots,X_n^{-1}\rangle$

    Se donner un $\mathbb{K}[M]$-module, c'est la même chose que se donner une représentation de $M$ dans le $\mathbb{K}$-espace vectoriel $V$. C'est-à-dire un morphisme de monoïdes :

    $$\begin{align*}M&\rightarrow \mathrm{End}_{\mathbb{K}}(V)\\m&\mapsto(v\mapsto m\cdot v)\end{align*} $$

Définition : Soit $A$ un anneau. Soit $M$, $N$ deux $A$-modules. Un morphisme $f:M \rightarrow N$ est une application t.q. :

  1. $f$ est un morphisme de groupes abéliens.
  2. $\forall a\in A$, $\forall m\in M$, $f(am)=af(m)$.

Notations :

  • $\mathrm{Hom}_{A}(M,N)$ : morphismes de $A$-module de $M$ vers $N$. C'est un groupe abélien.
  • $\mathrm{End}_{A}(M)$ : endomorphismes de $M$. C'est un anneau $(\mathrm{End}_{A}(M),+,\circ)$.
  • $\mathrm{Aut}_{A}(M)$ : automorphismes de $M$, on a $\mathrm{Aut}_{A}(M)=\left(\mathrm{End}_{A}(M)\right)^{\times}$.

Si $A$ est un anneau commutatif, alors $\mathrm{Hom}_A(M,N)$ est muni d'une structure de $A$-module : Soient $a \in A$ et $f \in \mathrm{Hom}_A(M,N)$. On définit l'application $a \cdot f : M \to N$ par

$$\forall m \in M, \quad (a \cdot f)(m) = a \cdot f(m) $$

Puisque $A$ est commutatif, $a \cdot f$ est bien un morphisme de $A$-modules. En particulier, lorsque $A$ est un anneau commutatif, $\mathrm{End}_A(M)$ est une $A$-algèbre (généralement non commutative).