2.4 Idéal annulateur et torsion

Définition : Soit $A$ un anneau. Soit $M$ un $A$-module.

1. Pour $m \in M$, on définit l'idéal annulateur de $m$ par :

   $$\text{Ann}_A(m) = \{a \in A \mid a \cdot m = 0\}. $$

2. Pour $E \subseteq M$ une partie de $M$, on définit l'idéal annulateur de $E$ par :

   $$\text{Ann}_A(E) = \{a \in A \mid \forall m \in E,\, a \cdot m = 0\} = \bigcap_{m \in E} \text{Ann}_A(m) $$

Ce sont des idéaux à gauche de $A$. Lorsque $E = M$, c'est un idéal bilatère.

Remarque : Comme $M$ est un $A$-module, il est muni d'un morphisme d'anneau $\varphi : A \to \mathrm{End}_\mathbb{Z}(M)$ défini par $a \mapsto (m \mapsto a \cdot m)$. En fait, $\mathrm{Ker}\, \varphi = \text{Ann}_A(M)$. Du coup, $\varphi$ induit par propriété universelle un morphisme d'anneau $\hat{\varphi} : A/\text{Ann}_A(M) \to \mathrm{End}_\mathbb{Z}(M)$. Donc $M$ est muni d'une structure de $A/\text{Ann}_A(M)$-module, où pour $\bar{a} \in A/\text{Ann}_A(M)$ et $m \in M$, on pose $\bar{a} \cdot m := a \cdot m$.

Définition : Soit $A$ un anneau et $M$ un $A$-module. Un élément $m \in M$ est dit de torsion si $\text{Ann}_A(m) \neq \{0\}$. On pose :

$$\text{Tor}_A(M) = \{m \in M \mid m \text{ est de torsion}\} = \{m \in M \mid \exists a \in A \setminus \{0\}, a \cdot m = 0\} $$

Exemples :

• $\text{Tor}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
• $\text{Tor}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}) = 0$
• Si $M = A$, $\text{Tor}_A(A) = \{ \text{diviseurs de zéro à droite de } A \}$
• $\text{Tor}_{\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}}(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) = (\{0\} \times \mathbb{Z}) \cup (\mathbb{Z} \times \{0\})$

En général, $\text{Tor}_A(M)$ n'est pas un sous-module de $M$.

Proposition : Soit $A$ un anneau commutatif et intègre. Soit $M$ un $A$-module. Alors $\text{Tor}_A(M) \le M$ et on a

$$\text{Tor}_A(\text{Tor}_A(M)) = \text{Tor}_A(M),\quad\text{Tor}_A(M/\text{Tor}_A(M)) = 0. $$

Preuve :

• Montrons que $\text{Tor}_A(M) \le M$. Soient $m, m' \in \text{Tor}_A(M)$ et $a \in A$. Il existe $b, b' \in A \setminus \{0\}$ tels que $b \cdot m = 0$ et $b' \cdot m' = 0$. Alors $(bb') \cdot (m+m') = b'(b \cdot m) + b(b' \cdot m') = 0 + 0 = 0$. Comme $A$ est intègre et $b, b' \neq 0$, on a $bb' \neq 0$. Donc $m+m' \in \text{Tor}_A(M)$. De même, $b \cdot (a \cdot m) = a \cdot (b \cdot m) = 0$, donc $a \cdot m \in \text{Tor}_A(M)$. Ainsi, $\text{Tor}_A(M)$ est un sous-module de $M$.

• Clairement, $\text{Tor}_A(\text{Tor}_A(M)) = \text{Tor}_A(M)$.

• Soit $m\in\text{Tor}_A(M/\text{Tor}_A(M))$, donc $\exists\widetilde{m}\in M$, $m = \widetilde{m}+\text{Tor}_A(M)$ et $\exists a\in A\setminus\{0\}$, $a\cdot m = 0$, c'est-à-dire $a\widetilde{m}\in\text{Tor}_A(M)$. Donc $\exists b\in A$, $b\cdot(a\cdot \widetilde{m}) = 0$, mais $ba\neq0$, donc $\widetilde{m}\in\text{Tor}_A(M)$, et $m=0$.