2.8 Modules noethériens

Définition : Soit $A$ un anneau. Soit $M$ un $A$-module. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $\forall N \le M$, $N$ est de type fini.
2. Toute suite croissante de sous-modules de $M$ stationne.
3. Toute famille non vide de sous-modules de $M$ admet un élément maximal.

On dit alors que $M$ est noethérien.

Définition : On dit que $A$ est noethérien si le $A$-module à gauche $A$ est noethérien.

Proposition : Soit $0 \to M_1 \xrightarrow{f} M_2 \xrightarrow{g} M_3 \to 0$ une suite exacte de $A$-modules. Alors $M_2$ est noethérien ssi $M_1$ et $M_3$ sont noethériens.

Preuve :

• $\boxed{\Rightarrow}$ On suppose $M_2$ noethérien. Tout sous-module de $M_1$ est aussi un sous-module de $M_2$, donc $M_1$ est noethérien. Soit $N_3 \le M_3$, alors $g^{-1}(N_3) \le M_2$, donc $g^{-1}(N_3)$ est de type fini. Donc $N_3 = g(g^{-1}(N_3))$ est aussi de type fini. Donc $M_3$ est noethérien.
• $\boxed{\Leftarrow}$ On suppose $M_1$ et $M_3$ noethériens. Soit $N_2 \le M_2$. Alors $N_2 \cap M_1 \le M_1$, il est donc de type fini. Soient $(u_1, \dots, u_r)$ des générateurs de $N_2 \cap M_1$. Le quotient $N_2 / (N_2 \cap M_1)$ est isomorphe à $(N_2 + M_1) / M_1$. C'est donc un sous-module de $M_2 / M_1 = M_3$. Par noethérianité de $M_3$, $N_2 / (N_2 \cap M_1)$ est de type fini. Soient $(u'_1, \dots, u'_s)$ des générateurs de $N_2 / (N_2 \cap M_1)$. Soient $(\tilde{u}'_1, \dots, \tilde{u}'_s)$ des relèvements dans $N_2$. Alors $(u_1, \dots, u_r, \tilde{u}'_1, \dots, \tilde{u}'_s)$ engendre $N_2$. Donc $N_2$ est de type fini, et $M_2$ est noethérien.

Corollaire : Soit $A$ un anneau noethérien. Soit $M$ un $A$-module. Alors $M$ est noethérien ssi $M$ est de type fini. En particulier, si $A$ est noethérien et on a une suite exacte $0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0$ de $A$-modules, alors $M_2$ de type fini $\iff M_1, M_3$ de type fini.

Preuve :

• $\boxed{\Rightarrow}$ Évident par définition.
• $\boxed{\Leftarrow}$ Comme $M$ est de type fini, on peut trouver $r \ge 0$ et un morphisme surjectif : $\varphi : A^r \to M$. Or $A$ est noethérien, donc par la proposition, $A^r$ est noethérien. Donc, encore par la proposition, $M$ est noethérien.