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2.9 Produit tensoriel
Jusqu'à indication du contraire, on supposera que tous les anneaux sont commutatifs.
Produit tensoriel de modules
Définition : Soient $A$ un anneau, et $M, N, P$ trois $A$-modules. On dit qu'une application $B : M \times N \rightarrow P$ est $A$-bilinéaire si : $\forall m \in M, \forall n \in N$, $B(m, \cdot) : N \rightarrow P$ et $B(\cdot, n) : M \rightarrow P$ sont $A$-linéaires.
Exemples :
- Soit $B$ une $A$-algèbre, donc $B \times B \rightarrow B, \; (b_1, b_2) \mapsto b_1 b_2$ est $A$-bilinéaire.
- Soient $M$ et $N$ deux $A$-modules, donc $M \times \text{Hom}_A(M, N) \rightarrow N, \; (m, f) \mapsto f(m)$ est $A$-bilinéaire.
Notation : Pour $M, N, P$ trois $A$-modules, on introduit :
$$\text{Bil}(M \times N, P) = \{ \text{applications } A\text{-bilin\'eaires } M \times N \rightarrow P \} $$
C'est un $A$-module.
Théorème :
- Il existe un $A$-module $M \otimes_A N$, muni d'une application bilinéaire $\otimes : M \times N \rightarrow M \otimes_A N, \; (m, n) \mapsto m \otimes n$ vérifiant la propriété universelle suivante : Pour tout $A$-module $P$, pour toute application $A$-bilinéaire $\theta : M \times N \rightarrow P$, il existe un unique morphisme $\varphi \in \text{Hom}_A(M \otimes_A N, P)$ tel que $\theta = \varphi \circ \otimes$.
2. Si $M \otimes'_A N$ est un $A$-module muni d'une application bilinéaire $\otimes' : M \times N \rightarrow M \otimes'_A N$ vérifiant la propriété universelle, alors il existe un unique isomorphisme $i : M \otimes_A N \rightarrow M \otimes'_A N$.
On dit que $M \otimes_A N$ est le produit tensoriel de $M$ et $N$.
Remarque : Cela signifie que l'on a une bijection :
$$\begin{align*} \text{Hom}_A(M \otimes_A N, P) &\xrightarrow{\,\,\sim\,\,} \text{Bil}(M \times N, P) \\ \varphi &\longleftarrow\hspace{-0.2em}\shortmid\, \theta \\ \varphi &\longmapsto \varphi \circ \otimes \end{align*} $$
Preuve :
- On considère le $A$-module libre : $A^{(M \times N)}$, dont on note la base canonique $(e_{m,n})_{(m,n) \in M \times N}$. Soit $R$ le sous-module engendré par les relations suivantes :
(i) $e_{m+m', n} - e_{m,n} - e_{m',n}$
(ii) $e_{m, n+n'} - e_{m,n} - e_{m,n'}$
(iii) $e_{am, n} - a e_{m,n}$
(iv) $e_{m, an} - a e_{m,n}$
pour tous $m, m' \in M$, $n, n' \in N$ et $a \in A$.
On pose $M \otimes_A N = A^{(M \times N)} / R$. On note $m \otimes n$ l'image de $e_{m,n}$ dans $M \otimes_A N$ pour $m \in M$ et $n \in N$.
Étant données les relations dans $R$, on a :
(i) $(m+m') \otimes n = m \otimes n + m' \otimes n$
(ii) $m \otimes (n+n') = m \otimes n + m \otimes n'$
(iii) $am \otimes n = a(m \otimes n) = m \otimes an$
pour tous $m, m' \in M$, $n, n' \in N$ et $a \in A$.
Donc $\otimes : M \times N \rightarrow M \otimes_A N$ est $A$-bilinéaire.
Soient $P$ un $A$-module et $\theta : M \times N \rightarrow P$ une application $A$-bilinéaire. On considère d'abord l'application $A$-linéaire :
$$ \begin{align*} \widetilde{\varphi} : A^{(M \times N)} &\longrightarrow P \\ e_{m,n} &\longmapsto \theta(m,n) \\ \sum a_{m,n} e_{m,n} &\longmapsto \sum a_{m,n} \theta(m,n) \end{align*} $$
Comme $\theta$ est $A$-bilinéaire, on a $R \subseteq \text{Ker } \widetilde{\varphi}$. Par la propriété universelle du quotient, il existe un unique morphisme $\varphi : M \otimes_A N \rightarrow P$ tel que $\varphi(m \otimes n) = \widetilde{\varphi}(e_{m,n}) = \theta(m,n)$.
Cela signifie que $\theta = \varphi \circ \otimes$. 2. Pour tout $A$-module $P$, on a $\text{Hom}_A(M \otimes_A N, P) \simeq \text{Bil}(M \times N, P) \simeq \text{Hom}_A(M \otimes'_A N, P)$. Le résultat découle du lemme qui suit.
$\square$
Lemme de Yoneda (cas particulier)
Lemme : Soient $X, Y$ deux $A$-modules. On suppose que :
- Pour tout $A$-module $Z$, on a un isomorphisme $\Psi_Z : \text{Hom}_A(X, Z) \xrightarrow{\,\,\sim\,\,} \text{Hom}_A(Y, Z)$.
- Pour tous $Z_1, Z_2$ des $A$-modules, pour tout morphisme $\eta : Z_1 \rightarrow Z_2$, on a un diagramme commutatif :
(On dit que les isomorphismes $\Psi_{Z_1}, \Psi_{Z_2}$ sont naturels.)
Alors $X \simeq Y$, l'isomorphisme étant donné par :
$$\Psi_X(\text{Id}_X) : Y \rightarrow X \quad \text{et} \quad \Psi_Y^{-1}(\text{Id}_Y) : X \rightarrow Y $$
Preuve :
$$ \begin{align*} \Psi_X : \text{Hom}_A(X,X) &\longrightarrow \text{Hom}_A(Y,X) \\ \text{Id}_X &\longmapsto \Psi_X(\text{Id}_X) =: f \\ \Psi_Y : \text{Hom}_A(X,Y) &\longrightarrow \text{Hom}_A(Y,Y) \\ g:=\Psi_Y^{-1}(\text{Id}_Y) &\longmapsto \text{Id}_Y \end{align*} $$
Par 2. , on a un diagramme commutatif en posant $Z_1 = X, Z_2 = Y$ et $\eta = f$ :
Donc $g \circ f = \text{Id}_Y$. De même, $f \circ g = \text{Id}_X$.
$\square$
Remarque : Les éléments de $M \otimes_A N$ sont des combinaisons linéaires de tenseurs élémentaires (ou purs), c'est-à-dire $m \otimes n$ où $m \in M$ et $n \in N$.
Fonctorialité du produit tensoriel
Proposition : Soient $\varphi : M \rightarrow M'$ et $\psi : N \rightarrow N'$ deux morphismes de $A$-modules. Alors, il existe un unique morphisme :
$$\varphi \otimes \psi : M \otimes_A N \rightarrow M' \otimes_A N' $$
tel que $(\varphi \otimes \psi)(m \otimes n) = \varphi(m) \otimes \psi(n)$ pour tous $m \in M, n \in N$.
Preuve : L'application $M \times N \rightarrow M' \otimes_A N', \; (m, n) \mapsto \varphi(m) \otimes \psi(n)$ est $A$-bilinéaire.
Par propriété universelle, il existe un unique morphisme $\theta : M \otimes_A N \rightarrow M' \otimes_A N'$ tel que $\theta(m \otimes n) = \varphi(m) \otimes \psi(n)$.
$\square$
Propriétés monoïdales du produit tensoriel
Soient $M, N, N'$ des $A$-modules.
- On a un isomorphisme naturel : $A \otimes_A M \simeq M$.
- On a un unique isomorphisme : $M \otimes_A N \simeq N \otimes_A M$ t.q. $m \otimes n \mapsto n \otimes m$, $\forall m \in M, \forall n \in N$.
- On a un unique isomorphisme : $M \otimes_A (N \oplus N') \simeq (M \otimes_A N) \oplus (M \otimes_A N')$ t.q. $m \otimes (n+n') \mapsto m \otimes n + m \otimes n'$, $\forall m \in M, \forall n \in N, \forall n' \in N'$.
- On a un unique isomorphisme : $M \otimes_A (N \otimes_A N') \simeq (M \otimes_A N) \otimes_A N'$ t.q. $m \otimes (n \otimes n') \mapsto (m \otimes n) \otimes n'$, $\forall m \in M, \forall n \in N, \forall n' \in N'$.
Preuve :
- On considère l'application linéaire :
$$\begin{align*} \theta : A \times M &\longrightarrow M \\ (a, m) &\longmapsto am \end{align*}$$
Par propriété universelle, elle induit un morphisme :
$$\begin{align*} \varphi : A \otimes_A M &\longrightarrow M \\ a \otimes m &\longmapsto am \end{align*}$$
De plus, on a un isomorphisme $\psi : M \rightarrow A \otimes_A M$ t.q. $m \mapsto 1 \otimes m$.
On a $\varphi \circ \psi = \text{Id}_M$ et $\psi \circ \varphi = \text{Id}_{A \otimes_A M}$. 2. Évident. 3. Évident. 4. Fixons $m \in M$. Considérons :
$$\begin{align*} \theta_m : N \times N' &\longrightarrow (M \otimes_A N) \otimes_A N' \\ (n, n') &\longmapsto (m \otimes n) \otimes n' \end{align*}$$
C'est une application bilinéaire qui induit donc un morphisme :
$$\begin{align*} \varphi_m : N \otimes_A N' &\longrightarrow (M \otimes_A N) \otimes_A N' \end{align*}$$
Considérons :
$$\begin{align*} \theta : M \times (N \otimes_A N') &\longrightarrow (M \otimes_A N) \otimes_A N' \\ (m, \alpha) &\longmapsto \varphi_m(\alpha) \end{align*}$$
C'est une application bilinéaire, qui induit donc un morphisme :
$$\begin{align*} \varphi : M \otimes_A (N \otimes_A N') &\longrightarrow (M \otimes_A N) \otimes_A N' \\ m \otimes (n \otimes n') &\longmapsto (m \otimes n) \otimes n' \end{align*}$$
De même, on a $\varphi' : (M \otimes_A N) \otimes_A N' \rightarrow M \otimes_A (N \otimes_A N')$ t.q. $(m \otimes n) \otimes n' \mapsto m \otimes (n \otimes n')$.
$\square$
Remarque : La propriété universelle de $M \otimes N \otimes N'$ : $\text{Hom}_A(M \times N \times N', P) = \text{Tril}(M \times N \times N', P)$ (Application $A$-trilinéaire).
Corollaire : Soit $\mathbb{K}$ un corps et $V_1, \dots, V_r$ des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie : $d_1, \dots, d_r$. Alors :
$V_1 \otimes \dots \otimes V_r$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $d_1 d_2 \dots d_r$.
Si $(e_{i_j})_{j \in [\hspace{-0.14em}[1, d_i]\hspace{-0.14em}]} \in \text{Base}(V_i)$, alors $(e_{1_{j_1}} \otimes \dots\otimes e_{i_{j_i}}\otimes\dots \otimes e_{r_{j_r}})_{\forall i \in [\hspace{-0.14em}[1, r]\hspace{-0.14em}], \, j_i \in [\hspace{-0.14em}[1, d_i]\hspace{-0.14em}]} \in \text{Base}(V_1 \otimes \dots \otimes V_r)$.
Exemple : Soit $V_1, V_2$ des $\mathbb{C}$-espaces vectoriels de dimension $d_1, d_2$, donc :
$$\begin{align*} \dim_\mathbb{C}(V_1 \otimes_\mathbb{C} V_2) &= d_1 d_2 \\ \dim_\mathbb{R}(V_1 \otimes_\mathbb{C} V_2) &= 2 d_1 d_2 \\ \dim_\mathbb{R}(V_1 \otimes_\mathbb{R} V_2) &= 4 d_1 d_2 \end{align*}$$
Exemples :
$$\begin{align*}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} &\xrightarrow{\,\,\sim\,\,} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\\ m \otimes n &\longmapsto mn \\ 1 \otimes a &\longleftarrow\hspace{-0.2em}\shortmid\, a\end{align*} $$
- $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\,\,\sim\,\,} 0$
$$\begin{align*} 2x \otimes y &= (2x) \otimes y = 0 \\ 3x \otimes y &= x \otimes (3y) = 0 \end{align*}$$
$$\Rightarrow \forall x, y, \quad x \otimes y = 0 $$
- $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} \xrightarrow{\,\,\sim\,\,} 0$
$$\begin{align*} x \otimes y = 2x \otimes \frac{y}{2} = 0 \end{align*}$$
De manière générale, pour deux idéaux $I$ et $J$ d'un anneau commutatif $A$, on a un isomorphisme de $A$-modules :
$$A/I \otimes_A A/J \simeq A / (I + J) $$
En particulier, pour $A = \mathbb{Z}$, $I = m\mathbb{Z}$ et $J = n\mathbb{Z}$, comme $m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z} = \gcd(m, n)\mathbb{Z}$, on obtient :
$$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z} / \gcd(m, n)\mathbb{Z} $$
En effet, soit $P$ un $A$-module quelconque, alors :
$$\text{Hom}_A(A/I\otimes_A A/J,P)\simeq\text{Bil}(A/I\times A/J,P)\simeq\{x_0\in P\mid(I+J)x_0 = 0\}\simeq\text{Hom}_A(A/(I+J),P) $$
Par le Lemme de Yoneda, l'existence de cette chaîne d'isomorphismes naturels pour tout $A$-module $P$ garantit directement l'isomorphisme des objets représentants : $A/I \otimes_A A/J \simeq A / (I + J)$, donné explicitement par $\bar{a} \otimes \bar{b} \mapsto \overline{ab}$.
Extension des scalaires
Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre, et $M$ un $A$-module. On considère $B \otimes_A M$. On peut le munir d'une structure de $B$-module via :
$$b' \cdot (b \otimes m) = bb' \otimes m $$
On dit que $B \otimes_A M$ est l'extension des scalaires de $A$ à $B$ de $M$. (Permet de transformer un $A$-module en $B$-module).
Exemples :
- $B \otimes_A A \simeq B$
- $B \otimes_A A^{(I)} \simeq B^{(I)}$ Cas particulier : Si $V$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, alors $V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$ s'appelle le complexifié de $V$.
Propriété universelle de l'extension des scalaires : Pour tout morphisme de $A$-modules $\theta : N \rightarrow M$ dans lequel $M$ est muni d'une structure de $B$-module, il existe un unique morphisme de $B$-modules $\varphi : B \otimes_A N \rightarrow M$ t.q. :
$$\varphi(b \otimes n) = b \cdot \theta(n), \quad \forall b \in B, \forall n \in N $$
Autrement dit, on a une bijection (adjonction entre l'oubli et l'extension des scalaires) :
$$\boxed{\text{Hom}_B(B \otimes_A N, M) \simeq \text{Hom}_A(N, M)} $$
Preuve : On considère l'application :
$$\begin{align*} B \times N &\longrightarrow M \\ (b, n) &\longmapsto b \cdot \theta(n) \end{align*}$$
C'est une application $A$-bilinéaire, donc elle induit un unique morphisme de $A$-modules :
$$\begin{align*} \varphi : B \otimes_A N &\longrightarrow M \\ b \otimes n &\longmapsto b \cdot \theta(n) \end{align*}$$
Cette formule implique automatiquement que $\varphi$ est un morphisme de $B$-modules.
$\square$
Produit tensoriel d'algèbre
Soit $A$ un anneau et $B, C$ des $A$-algèbres. On considère $B \otimes_A C$, c'est un $A$-module. On peut le munir d'une structure de $A$-algèbre via :
$$(b \otimes c)(b' \otimes c') = (bb') \otimes cc', \quad \forall b, b' \in B,\, \forall c, c' \in C $$
Propriété universelle du produit tensoriel d'algèbre : Soient $D$ une $A$-algèbre et $\varphi : B \rightarrow D$, $\psi : C \rightarrow D$ deux morphismes de $A$-algèbres. Alors, il existe un unique morphisme de $A$-algèbres $\theta : B \otimes_A C \rightarrow D$ t.q. :
$$\theta(b \otimes c) = \varphi(b)\psi(c) $$
Autrement dit, on a une bijection :
$$\boxed{\text{Hom}_{A\text{-alg}}(B \otimes_A C, D) \simeq \text{Hom}_{A\text{-alg}}(B, D) \times \text{Hom}_{A\text{-alg}}(C, D)} $$
Exemples :
$\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} = \text{?}$ (voir le calcul détaillé dans l'exemple 4)
$$\begin{align*} A[X_1, \dots, X_n] \otimes_A B &\xrightarrow{\,\,\sim\,\,} B[X_1, \dots, X_n]\\ P \otimes b &\longmapsto bP \\ X_i \otimes 1 &\longleftarrow\hspace{-0.2em}\shortmid\, X_i\end{align*} $$
$$\begin{align*}(A[X_1, \dots, X_n]/I) \otimes_A B &\xrightarrow{\,\,\sim\,\,} B[X_1, \dots, X_n] / IB[X_1, \dots, X_n] \\ \bar{P} \otimes b &\mid\!\xrightarrow{\quad} \overline{bP} \\ \bar{X}_i \otimes 1 &\xleftarrow{\quad}\!\mid \bar{X}_i\end{align*} $$
$$\begin{align*}\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} &\simeq \mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{R}[X]/(X^2+1) \\ &\simeq \mathbb{C}[X]/(X^2+1) \quad\text{(par l'exemple 3)}\\ &\simeq \mathbb{C}[X]/((X+i)(X-i)) \\ &\simeq \mathbb{C}[X]/(X+i) \times \mathbb{C}[X]/(X-i) \quad \text{(par le Lemme de chinois)} \\ &\simeq \mathbb{C} \times \mathbb{C} \end{align*}$$
$$\frac{\mathbb{K}[X_1, \dots, X_n]}{(f_1, \dots, f_r)} \otimes_\mathbb{K} \frac{\mathbb{K}[Y_1, \dots, Y_m]}{(g_1, \dots, g_s)} \simeq \frac{\mathbb{K}[X_1, \dots, X_n, Y_1, \dots, Y_m]}{(f_1(X), \dots, f_r(X), g_1(Y), \dots, g_s(Y))} $$
De plus, en termes de points (variétés algébriques) :
$$\text{Hom}_{\mathbb{K}\text{-alg}}(\mathbb{K}[X_1, \dots, X_n]/(f_1, \dots, f_r), \mathbb{K}) \simeq \{x \in \mathbb{K}^n \mid f_1(x) = \dots = f_r(x) = 0\} $$
Ainsi, pour le produit tensoriel :
$$\begin{align*} &\text{Hom}_{\mathbb{K}\text{-alg}}\Big( \mathbb{K}[X_1, \dots, X_n]/(f_1, \dots, f_r) \otimes_\mathbb{K} \mathbb{K}[Y_1, \dots, Y_m]/(g_1, \dots, g_s), \, \mathbb{K} \Big) \\ &\simeq \{(x, y) \in \mathbb{K}^n \times \mathbb{K}^m \mid f_1(x) = \dots = f_r(x) = g_1(y) = \dots = g_s(y) = 0\} \\ &= \{x \in \mathbb{K}^n \mid f_1(x) = \dots = f_r(x) = 0\} \times \{y \in \mathbb{K}^m \mid g_1(y) = \dots = g_s(y) = 0\}\\ &\simeq\text{Hom}_{\mathbb{K}\text{-alg}}\left(\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]/(f_1,\dots,f_r)\right)\times \text{Hom}_{\mathbb{K}\text{-alg}}\left(\mathbb{K}[Y_1,\dots,y_m]/(g_1,\dots,g_s)\right) \end{align*}$$
Produit tensoriel sur des anneaux non commutatifs
On ne suppose plus les anneaux commutatifs.
Définition : Soit $A$ un anneau. Soient $M$ un $A$-module à droite et $N$ un $A$-module à gauche. Une application $B : M \times N \rightarrow Z$ (où $Z$ est un groupe abélien) est dite balancée si :
- (Additivité) Pour tout $m \in M$ et $n \in N$, les applications $B(m, \cdot): N\rightarrow Z$ et $B(\cdot, n):M\rightarrow Z$ sont des morphismes de groupes abéliens.
- (Condition d'équilibre) $\forall a \in A, \forall m \in M, \forall n \in N, B(ma, n) = B(m, an)$.
Théorème : Il existe un groupe abélien $M \otimes_A N$ muni d'une application balancée $\otimes : M \times N \rightarrow M \otimes_A N$ telle que :
- Pour tout groupe abélien $Z$ et toute application balancée $B : M \times N \rightarrow Z$, il existe un unique morphisme de groupes $\hat{f}\in\text{Hom}_\mathbb{Z}(M\otimes_A N,Z)$ tel que $B = \hat{f} \circ \otimes$.
- Si $M\otimes_A' N$ est un autre groupe abélien muni d'une application balancée $\otimes':M\times N\rightarrow M\otimes_A' N$ et vérifie la même propriété universelle, alors il existe un isomorphisme $l:M\otimes_A N\rightarrow M\otimes_A' N$ t.q. $\otimes' = l\circ\otimes$.
Définition : Soient $A$ et $A'$ deux anneaux. Un groupe abélien $M$ est un $(A, A')$-bimodule s'il est à la fois un $A$-module à gauche et un $A'$-module à droite, avec compatibilité :
$$ \forall a \in A,\, \forall a' \in A',\, \forall m \in M,\quad a \cdot (m \cdot a') = (a \cdot m) \cdot a' $$
Remarque : Si $M$ est un $(A', A)$-bimodule et $N$ est un $A$-module à gauche, alors $M \otimes_A N$ hérite d'une structure de $A'$-module à gauche définie par :
$$ a' \cdot (m \otimes n) = (a'm) \otimes n $$
Propriété universelle : Soient $M$ un $(A', A)$-bimodule et $N$ un $A$-module à gauche. Pour toute application balancée $B : M \times N \rightarrow Z$ dans laquelle $Z$ est un $A'$-module à gauche et t.q.
$$ \forall m\in M,\,\forall n\in N,\,\forall a'\in A',\quad B(a'm, n) = a'B(m, n), $$
il existe alors un unique morphisme $\hat{f}\in\text{Hom}_{A'}(M\otimes_A N,Z)$ t.q. $B=\hat{f}\circ\otimes$.