Théorème de Péano, solutions maximales

Plan :

1. Théorème de Cauchy-Péano
2. Solutions maximales
3. Durée de vie
4. Solutions globales

1) Théorème de Cauchy-Péano

Théorème (Cauchy-Péano) : Soit $U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ ouvert et $f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ continue. Soit $(t_0, x_0) \in U$, $\eta, \rho, M > 0$ tels que $K = [t_0 - \eta, t_0 + \eta] \times \overline{B}(x_0, \rho) \subset U$ et :

$$\|f(t, x)\| \le M, \quad \forall (t, x) \in [t_0 - \eta, t_0 + \eta] \times \overline{B}(x_0, \rho) $$

Alors $\forall \varepsilon < \min(\eta, \frac{\rho}{M})$, sur $[t_0-\varepsilon, t_0 + \varepsilon]$, le problème de Cauchy

$$\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$

admet une solution.

⚠️ Il n'y a pas forcément unicité (cf. exemple cours précédent) :

$$\begin{cases} x'(t) = \sqrt{\max(x(t), 0)} \\ x(0) = 0 \end{cases} $$

On utilisera le théorème d'Arzelà-Ascoli :

Théorème (Arzelà-Ascoli) : Soient $a < b$, $a, b \in \mathbb{R}$ et notons $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R}^n) = \{ g: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n \text{ continue} \}$ muni de $\|\cdot\|_\infty$. Soit $(g_n)_{n \ge 1}$ une suite de $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R}^n)$ telle que :

1. $\forall x \in [a, b]$, la suite $(g_n(x))_{n \ge 1}$ est bornée.

2. En notant $\omega_g(\delta) = \sup \{ \|g(x) - g(y)\| : |x - y| \le \delta, x, y \in [a, b] \}$, on a :

   $$\forall \epsilon > 0,\, \exists \delta > 0, \quad \sup_{n \ge 1} \omega_{g_n}(\delta) \le \epsilon $$

Alors il existe une sous-suite de $(g_n)$ qui converge uniformément.

Remarque : Pour une fonction $g$, on a $g$ continue $\iff\omega_f(\delta) \xrightarrow[\delta \to 0]{} 0$.

Preuve du théorème de Cauchy-Péano : Posons $K = [t_0-\eta,t_0+\eta] \times \overline{B}(x_0, \rho)$. Soit $\varepsilon < \min(\eta, \frac{\rho}{M})$. On note $t_i = t_0 + i \frac{\varepsilon}{n+1}$ pour $0 \le i \le n+1$, subdivision de $[t_0, t_0 + \varepsilon]$ de pas $\frac{\varepsilon}{n+1}$.

On construit des points de $\mathbb{R}^n$ $(x_i)_{0<i\leq n+1}$ par récurrence :

$$x_{i+1} = x_i + \frac{\varepsilon}{n+1} f(t_i, x_i) \quad \text{pour } 0 \le i \le n $$

On définit alors $X_n(t)$ pour $t_0 \le t \le t_0 + \varepsilon$ par interpolation linéaire.

1. On vérifie que $\forall 0 \le i \le n+1$, $(t_i, x_i) \in K$. Pour cela, on montre par récurrence que $\|x_i - x_0\| \le \dfrac{i \varepsilon M}{n+1}$.

   • Pour $i = 0$ : OK.

   • Hérédité : Si $\|x_i - x_0\| \le \dfrac{i \varepsilon M}{n+1}$ pour $i \le n$, on a :

     $$\|x_{i+1} - x_0\| \le \|x_{i+1} - x_i\| + \|x_i - x_0\| \le \frac{\varepsilon}{n+1} \|f(t_i, x_i)\| + \frac{i \varepsilon M}{n+1} \le \frac{(i+1) \varepsilon M}{n+1} $$

   Ainsi, $\forall 0\leq i\leq n+1$, $(t_i,x_i)\in K$.

2. Pour $0 \le i \le n$ et $t_i < t < t_{i+1}$, on a $X_n'(t) = f(t_i, x_i)$ donc $\|X_n'(t)\| \le M$. On en déduit que $X_n$ est $M-$lipschitzienne sur $[t_0, t_0 + \varepsilon]$. De plus, $X_n(t_0) = x_0$ donc $(X_n(t_0))_{n \ge 1}$ est bornée. Par Arzelà-Ascoli, quitte à extraire, on peut supposer que $X_n \rightarrow X$ uniformément sur $[t_0, t_0 + \varepsilon]$.

3. Pour $0 \le i \le n$ et $t \in [t_i, t_{i+1}]$, on a :

   $$\|X_n'(t) - f(t, X_n(t))\| = \|f(t_i, x_i) - f(t, X_n(t))\| \le \omega_f\left(\frac{\varepsilon}{n+1} + M \frac{\varepsilon}{n+1}\right) $$

   (car $\|X_n(t) - x_i\| = \|X_n(t)-X_n(t_{i+1})\| \le \|f(t_i)\|\cdot|t_{i+1}-t| \leq M\dfrac{\varepsilon}{n+1}$), où $\omega_f(\delta) = \sup\{\|f(t,x)-f(u,y)\| : |t-u|+\|x-y\| \leq \delta,(t,x)\in K,(u,y)\in K\}\xrightarrow[\delta\to0]{}0$ par uniforme continuité de $f$ sur $K$.

Par l'inégalité des accroissements finis, on obtient $\forall t_0 \le t \le t_0 + \varepsilon$ :

$$\left\|X_n(t) - x_0 - \int_{t_0}^t f(u, X_n(u)) \, du\right\| \le \omega_f\left((1+M)\frac{\varepsilon}{n+1}\right) |t - t_0| $$

En passant à la limite lorsque $n \rightarrow \infty$, par convergence uniforme, on en déduit que $\forall t_0 < t < t_0 + \varepsilon$,

$$X(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(u, X(u)) \, du $$

En dérivant, on obtient une solution sur $[t_0, t_0 + \varepsilon]$. On construit de même une solution sur $[t_0 - \varepsilon, t_0]$ et elles se recollent en une solution sur $[t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon]$ car les dérivées à droite et à gauche en $t_0$ sont $f(t_0, x_0)$.

Nous allons maintenant passer à l'étude de l'intervalle de définition des solutions du problème de Cauchy.

2) Solutions maximales

Soit $U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ ouvert et $f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ continue, semi-lipschitzienne.

Définition : On dit qu'une solution $u: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ du problème de Cauchy $x'(t) = f(t, x(t))$ est une solution maximale (ou non prolongeable) si elle n'a pas de prolongement à un intervalle strictement plus grand, c'est-à-dire si elle n'est pas la restriction à $I$ d'une solution définie sur un intervalle $I' \supsetneq I$.

Rappel : Une solution du problème de Cauchy $x'(t) = f(t, x(t))$ est une fonction dérivable $u: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ telle que :

1. $I$ est un intervalle non vide de $\mathbb{R}$, $t_0 \in I$ et $u(t_0) = x_0$
2. $\forall t \in I, (t, u(t)) \in U$
3. $\forall t \in I, u'(t) = f(t, u(t))$

On va démontrer le résultat suivant :

Théorème : Pour toute donnée initiale $(t_0, x_0)\in U$, il existe une unique solution maximale $u: ]t_-, t_+[ \rightarrow \mathbb{R}^n$ définie sur un intervalle ouvert avec $u(t_0) = x_0$ telle que toute autre solution vérifiant cette condition initiale est la restriction de $u$ à un sous-intervalle de $]t_-, t_+[$. Cette solution est maximale.

Remarque : L'intervalle de définition d'une solution maximale est toujours ouvert.

Pour $u: I_1 \rightarrow \mathbb{R}^n$ et $v: I_2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ deux fonctions telles que $u = v$ dans $I_1 \cap I_2$, leur recollement est la fonction $u * v: I_1 \cup I_2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ définie par :

$$(u * v)(t) = \begin{cases} u(t) & \text{si } t \in I_1 \\ v(t) & \text{si } t \in I_2 \end{cases} $$

La preuve du théorème repose sur le résultat suivant :

Proposition : Soient $u: I_1 \rightarrow \mathbb{R}^n$ et $v: I_2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ deux solutions du problème de Cauchy $x'(t) = f(t, x(t))$ définies sur des intervalles ouverts et telles que $u(t_0) = v(t_0)$ pour un certain $t_0 \in I_1 \cap I_2$. Alors :

• $u = v$ sur $I_1 \cap I_2$.
• Le recollement de $u$ et $v$ est une solution définie sur $I_1 \cup I_2$.

Avant les preuves, donnons un exemple.

Exemple : Soit $x'(t) = x(t)^2$, avec $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, (t, x) \mapsto x^2$ continue, $\mathcal{C}^1$, donc semi-lipschitz. La solution valant $x_0$ en $t_0$ est $x(t) = \dfrac{x_0}{(t_0 - t)x_0 + 1}$. L'intervalle maximal de définition de cette solution est :

$$\begin{cases} ]-\infty, t_0 + \frac{1}{x_0}[ & \text{si } x_0 > 0 \\ ]t_0 + \frac{1}{x_0}, +\infty[ & \text{si } x_0 < 0 \\ \mathbb{R} & \text{si } x_0 = 0 \end{cases} $$

Vérifions par exemple que si $x_0 > 0$, $u(t) = \dfrac{x_0}{(t_0 - t)x_0 + 1}$ sur $]-\infty, t_0 + \frac{1}{x_0}[$ est maximale. Par l'absurde, si $u$ est solution sur $]a,+\infty[$ avec $a < t_0 + \frac{1}{x_0}$, alors $u = x$ sur $]t_0 + \frac{1}{x_0},+\infty[$ d'après la proposition, et par continuité de $u$ en $t_0 + \frac{1}{x_0}$ on obtient $u\left(t_0 + \frac{1}{x_0}\right) = \lim\limits_{t \searrow t_0 + \frac{1}{x_0}} x(t) = \infty$, absurde.

Preuve de la proposition : On montre que l'ensemble $A := \{ t \in I_1 \cap I_2 : u(t) = v(t) \} \subset I_1 \cap I_2$ est non vide, ouvert et fermé dans $I_1 \cap I_2$, ce qui implique $A = I_1 \cap I_2$ par connexité.

• $A \neq \emptyset$ car $t_0 \in I_1 \cap I_2$.
• $A$ est fermé dans $I_1 \cap I_2$ car $A = (u - v)^{-1}(\{0\})$ avec $(u - v)$ continue.
• Montrons que $A$ est ouvert dans $I_1 \cap I_2$. Soit $t_1 \in A$. Alors $t_1 \in I_1 \cap I_2$ et $u(t_1) = v(t_1) = x_1 \in \mathbb{R}^n$, $(t_1, x_1) \in U$. Le problème de Cauchy $\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_1) = x_1 \end{cases}$ admet d'après Cauchy-Lipschitz une unique solution locale définie sur un intervalle $[t_1 - \delta, t_1 + \delta]$ avec $\delta > 0$. Donc par unicité $u(t) = w(t) = v(t)$ $\forall t \in [t_1 - \delta, t_1 + \delta]$ et $[t_1 - \delta, t_1 + \delta] \subset A$. Donc $A$ est ouvert dans $I_1 \cap I_2$.

Le fait que le recollement de $u$ et $v$ est une solution est laissé en exercice.

Preuve du théorème : Soit $I_{\max}$ l'union de tous les intervalles contenant $t_0$ sur lesquels le problème de Cauchy

$$\textcolor{blue}{(*)}\quad\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$

admet une solution. D'après Cauchy-Lipschitz, c'est un intervalle ouvert de la forme $I_{\max} = ]t_-, t_+[$.

Pour tout $t\in]t_+,t_-[$, soit $u(t)$ comme la valeur en $t$ de n'importe quelle solution de $\textcolor{blue}{(*)}$ définie sur un intervalle contenant $t$. La proposition précédente montre que c'est bien défini. C'est bien une solution :

• On a bien $u(t_0) = x_0$.
• Soit $t \in ]t_-, t_+[$. Vérifions que $u'(t) = f(t, u(t))$. Par définition de $]t_-, t_+[$, il existe une solution $v$ définie sur un intervalle $I$ contenant $t$, et donc $u'(t) = f(t, u(t))$.
• Par définition de $]t_-, t_+[$, il n'existe pas de solution définie sur un intervalle plus grand.

⚠️ Si $f$ est seulement continue (pas localement lipschitzienne), on n'a plus l'unicité de la solution maximale.

3) Durée de vie

Pour simplifier, on suppose ici $f: J \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ définie sur $J \times \Omega$ où $J \subset \mathbb{R}$ est un intervalle ouvert et $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ est un ouvert.

On s'intéresse à l'intervalle de définition d'une solution maximale. Cet intervalle peut être différent de $J$ (cf. exemple $x'(t) = x(t)^2$ où $J = \mathbb{R}$ avec des solutions maximales non définies sur $\mathbb{R}$).

L'idée générale est que si une solution ne peut être prolongée sur tout $J$, c'est qu'elle s'approche en temps fini du bord de $U$. Formalisons cela pour $t_+$ (pour $t_-$ les résultats sont similaires) :

Proposition (Sortie définitive de tout compact) : Soit $u: ]t_-, t_+[ \rightarrow \mathbb{R}^n$ une solution maximale de $\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases}$ avec $f: J \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ continue, semi-lipschitzienne. Si $t_+ < \sup J$, alors pour tout compact $K \subset \Omega$, $\exists T \in ]t_-, t_+[$ tel que $\forall t \in [T, t_+[$, $u(t) \notin K$.

On rencontrera essentiellement les deux situations suivantes lorsque $t \rightarrow t_+$ :

• $\|u(t)\| \rightarrow +\infty$ : explosion en temps fini.
• $u(t)$ converge vers un point du bord de $\Omega$ quand $t \rightarrow t_+$.

Preuve :

Soit $u: ]t_-, t_+[ \rightarrow \mathbb{R}^n$ une solution maximale (elle n'est pas définie en $t_+$). Par l'absurde, soit $t_n \rightarrow t_+$ et $K\subset\Omega$ compact avec $u(t_n) \in K$, $\forall n\geq1$. Par compacité, quitte à extraire, on peut supposer que $u(t_n) \rightarrow x_+ \in K$. En particulier, $(t_n, u(t_n)) \rightarrow (t_+, x_+) \in J \times \Omega$.

Par Cauchy-Lipschitz, le problème $\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_+) = x_+ \end{cases}$ admet une solution sur $]t_+ - \delta, t_+ + \delta[$, avec $\delta > 0$ pouvant être choisi de sorte que pour un voisinage $V$ de $(t_+, x_+) \in J \times \Omega$, tout solution de $\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(T) = x_T \end{cases}$ avec $(T, x_T) \in V$ est définie sur $]T - \delta, T + \delta[$.

On choisit alors $n$ tel que $(t_n, u(t_n)) \in V$ et tel que $t_n + \delta > t_+$. Soit alors $v: ]t_n - \delta, t_n + \delta[$ la solution du problème de Cauchy $\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_n) = u(t_n) \end{cases}$. Le recollement de $u$ et $v$ définit une solution sur $]t_-, t_n + \delta[$ qui contient strictement $]t_-, t_+[$, ce qui est absurde.

4) Solutions globales

Définition : Soit $f: J \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ une fonction continue, semi-lipschitzienne. On dit qu'une solution maximale $u: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ du problème de Cauchy est globale si $I = J$.

Théorème (Critère de sous-linéarité) : Soit $f: J \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ continue, semi-lipschitzienne. On suppose que pour tout compact $K \subset J$, $\exists C_1, C_2 \ge 0$ tels que

$$\forall t \in K,\, \forall x \in \mathbb{R}^n, \quad \|f(t, x)\| \le C_1 + C_2 \|x\| $$

Alors toute solution maximale est globale.

Les hypothèses sont satisfaites si $f$ est bornée

On fait appel au lemme de Grönwall (qui sera utile de nombreuses fois) :

Lemme de Grönwall : Soit $y: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^+$ continue et $c_0 \ge 0$.

1. Soit $g: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^+$ continue. On suppose que

   $$\forall t \in [a, b], \quad y(t) \le c_0 + \int_a^t f(s) y(s) \, ds $$

   Alors

   $$\forall t \in [a, b],\quad y(t) \le c_0 \exp\left(\int_a^t f(s) \, ds\right) $$

2. On suppose de plus

   $$\forall t \in [a, b],\quad y(t) \le c_0 + c \int_a^t y(s) \, ds\quad\text{avec } c > 0 $$

   Alors

   $$\forall t \in [a, b],\,y(t) \le c_0 \exp(c(t - a)) $$

Preuve du lemme : Le point 2. est une conséquence du 1. avec $f \equiv c$. Pour 1., posons $h(t) = c_0 + \int_a^t f(s) y(s) \, ds$, de sorte que $h'(t) = f(t) y(t)$ pour $t \in [a, b]$. Comme $y(t) \le h(t)$, on obtient $h'(t) \le f(t) h(t)$. Soit alors $H(t) = h(t) \exp\left(-\int_a^t f(s) \, ds\right)$. Alors $H'(t) = \exp\left(-\int_a^t f(s) \, ds\right) (h'(t) - f(t) h(t)) \le 0$ pour tout $t \in [a, b]$. Ainsi $H$ est décroissante. Or $H(a) = h(a) = c_0$. Donc $h(t) \le c_0 \exp\left(\int_a^t f(s) \, ds\right)$. Comme $y(t) \le h(t)$, on en déduit le résultat.

On applique typiquement ce lemme avec la norme d'une solution (ou la différence de deux solutions).

Preuve du théorème : Soit $u: ]t_-, t_+[ \rightarrow \mathbb{R}^n$ une solution maximale du problème de Cauchy. On suppose $t_+ < \sup J$. Alors par le théorème de sortie des compacts, on a :

$$\|u(t)\| \xrightarrow[t \to t_+]{} +\infty $$

Mais $[t_0, t_+ ] \subset J$ est compact, donc par hypothèse $\exists C_1, C_2 \ge 0$ tels que

$$\|f(t, x)\| \le C_1 + C_2 \|x\|,\quad\forall t\in[t_0,t_+],\,\forall x\in\mathbb{R} $$

On obtient pour tout $t \in [t_0, t_+[$ :

$$\begin{align*}\|u(t)\| &\le \|u(t_0)\| + \int_{t_0}^t \|f(s, u(s))\| \, ds\\ &\le \|u(t_0)\| + \int_{t_0}^t (C_1 + C_2 \|u(s)\|) \, ds\\ &\le \underbrace{\|u(t_0)\| + C_1(t_+ - t_0)}_{c_0} + C_2 \int_{t_0}^t \|u(s)\| \, ds\end{align*} $$

D'après le lemme de Grönwall, on conclut que :

$$\|u(t)\| \le c_0 \exp(C_2(t_+ - t_0)), \quad \forall t \in [t_0, t_+[ $$

Ce qui contredit $\|u(t)\| \xrightarrow[t\to t_+]{} +\infty$.