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Théorie générale des équations différentielles
Plan :
- Problème de Cauchy
- Existence et unicité
- Équation d'ordre $n$
1) Problème de Cauchy
On considère le système appelé problème de Cauchy, dont les données sont :
$$\textcolor{blue}{(*)}\quad\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$
Soit :
- Un ensemble ouvert $U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$
- Une application continue $f : U \rightarrow \mathbb{R}^n$
- Un couple $(t_0, x_0) \in U$
Souvent $U$ est de la forme $U = J \times \Omega$ où $J \subset \mathbb{R}$ est un intervalle ouvert et $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ est un ouvert.
Remarque : Il s'agit en fait d'un système d'équations : si on note $x = (x_1, \dots, x_n)$ et $f = (f_1, \dots, f_n)$, alors $x'(t) = f(t, x(t))$ s'écrit :
$$\begin{cases} x_1'(t) = f_1(t, x_1(t), \dots, x_n(t)) \\ \vdots \\ x_n'(t) = f_n(t, x_1(t), \dots, x_n(t)) \end{cases} $$
Définition : Une solution de ce problème de Cauchy est une fonction dérivable $u : I \rightarrow \mathbb{R}^n$ telle que :
- $I$ est un intervalle non vide de $\mathbb{R}$, $t_0 \in I$ et $u(t_0) = x_0$
- $\forall t \in I$, $(t, u(t)) \in U$
- $\forall t \in I$, $u'(t) = f(t, u(t))$
Ainsi, une solution est en fait un couple $(u, I)$ : l'intervalle de définition $I$ fait partie des inconnues.
Remarque : $f$ étant supposée continue, toute solution est de classe $\mathcal{C}^1$.
Le problème de Cauchy peut se réécrire sous forme intégrale :
Proposition : Soit $I\neq\varnothing$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $u : I \rightarrow \mathbb{R}^n$ t.q. $\forall t\in I$, $(t,u(t))\in U$. Alors $u$ est solution du problème de Cauchy $\textcolor{blue}{(*)}$ si et seulement si $u : I \rightarrow \mathbb{R}^n$ est continue et vérifie :
$$u(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, u(s)) \, ds $$
Preuve :
- $\boxed{\Rightarrow}$ Si $u$ est solution : On intègre $u'(s) = f(s, u(s))$ entre $t_0$ et $t$.
- $\boxed{\Leftarrow}$ Si $u(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, u(s)) \, ds$ : On a bien $u(t_0) = x_0$. Par continuité de $s \mapsto f(s, u(s))$, la fonction $t \mapsto \int_{t_0}^t f(s, u(s)) \, ds$ est dérivable (et même $\mathcal{C}^1$) de dérivée $f(t, u(t))$, d'où le résultat.
Exemples :
$$\begin{cases} x'(t) = f(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} \quad \text{avec } U = I \times \mathbb{R} $$
Comme $f$ ne dépend que de $t$, il y a une unique solution qui est :
$$x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s) \, ds $$
$$\begin{cases} x'(t) = \sqrt{\max(x(t), 0)} \\ x(0) = 0 \end{cases} \quad \text{avec } U = \mathbb{R} \times \mathbb{R} $$
Il n'y a pas unicité : $x(t) = 0$ et $u(t) = \dfrac{t^2}{4} \mathbb{1}_{t \ge 0}$ sont solutions.
2) Existence et unicité
L'objectif des EDO est de modéliser des processus physiques, qui sont souvent déterministes : si on connaît la dynamique d'un système et une condition initiale à $t = t_0$, alors l'évolution de ce système est unique pour tout $t$. Cette notion de déterminisme se traduit en termes mathématiques par l'existence et l'unicité de solutions, ce qui est donc une nécessité pour un modèle réaliste.
- Pour l'unicité, il faudra des conditions supplémentaires (cf. exemple ci-dessus).
- Pour l'existence, la forme $x'(t) = f(t, x(t))$ avec $f$ continue est importante.
En effet, par exemple :
$$\begin{cases} x'(t)x(t) + t = 0 \\ x(0) = 0 \end{cases} $$
N'a pas de solution. En effet, si on avait une solution, on aurait $\int_{0}^t x'(s)x(s) \, ds + \int_{0}^t s \, ds = 0$, et donc $\dfrac{x(t)^2}{2} + \dfrac{t^2}{2} = 0$, d'où $x(t) = 0$ et $t = 0 \, \forall t \in I$, ce qui est absurde.
L'hypothèse de continuité est également importante : on vérifie que
$$\begin{cases} x'(t) = -H(x(t)) \\ x(t_0) = 0 \end{cases} \quad \text{avec } H(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \ge 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \end{cases} $$
n'a pas de solution.
Définition : Soit $U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ un ouvert et $f : U \rightarrow \mathbb{R}^n$ continue. On dit que $f$ est semi-lipschitzienne si $\forall (t_0, x_0) \in U$, $\exists J$ intervalle ouvert contenant $t_0$, $\exists W$ voisinage ouvert de $x_0$ t.q. $J \times W \subset U$, $\exists L > 0$ t.q.
$$\forall t \in J, \, \forall x, y \in W, \quad \|f(t, x) - f(t, y)\| \le L \|x - y\| $$
(i.e. $f$ est localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable de manière uniforme en la première $t\in J$)
On rappelle qu'en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes : on peut choisir la norme que l'on veut sur $\mathbb{R}^n$.
Proposition : Soit $f : U \rightarrow \mathbb{R}^n$ de classe $\mathcal{C}^1$ avec $U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ ouvert. Alors $f$ est semi-lipschitzienne.
Pour démontrer cela, on utilisera le résultat suivant :
Théorème de la moyenne : Soient $a < b$ dans $\mathbb{R}$, $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$, $g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continues, dérivables sur $]a, b[$ telles que $\|f'(t)\| \le g'(t)$, $\forall t\in]a,b[$. Alors :
$$\|f(b) - f(a)\| \le g(b) - g(a) $$
Dans la suite, on utilisera la notation $B(x, r) = \{ y \in E : d(x, y) < r \}$ pour la boule ouverte de rayon $r$ et de centre $x$ dans un espace métrique $(E, d)$, et $\overline{B}(x, r)$ pour la boule fermée.
Preuve de la proposition : Soit $(t_0, x_0) \in U$. Soit $\varepsilon > 0$ tel que $[t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon] \times \overline{B}(x_0, \rho) \subset U$. Comme $f$ est $\mathcal{C}^1$, $\exists M>0$ t.q. $|\!|\!| Df |\!|\!|\leq M$ sur $[t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon] \times \overline{B}(x_0, \rho)$. Soit $t \in [t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon]$ et $x, y \in \overline{B}(x_0, \rho)$. Posons $\varphi : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^n, \, s \mapsto f(t, s y + (1 - s) x)$. Alors $\varphi$ est $\mathcal{C}^1$ et $\varphi'(s) = Df_{(t, s y + (1 - s) x)} . (0, y - x)$. Ainsi, $\|\varphi'(s)\| \le M \|x - y\|$. Donc d'après le théorème de la moyenne :
$$\|f(t, x) - f(t, y)\| = \|\varphi(1) - \varphi(0)\| \le M \|x - y\| $$
Théorème (Cauchy-Lipschitz : existence et unicité locale) : Soit $U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ ouvert et $f : U \rightarrow \mathbb{R}^n$ continue, semi-lipschitzienne. Soit $(t_0, x_0) \in U$, $\eta, \rho,M,L > 0$ tels que $[t_0 - \eta, t_0 + \eta] \times \overline{B}(x_0, \rho) \subset U$ et :
- $\|f(t, x)\| \le M \quad \forall (t, x) \in [t_0 - \eta, t_0 + \eta] \times \overline{B}(x_0, \rho)$
- $\|f(t, x) - f(t, y)\| \le L \|x - y\| \quad \forall t \in [t_0 - \eta, t_0 + \eta], \, \forall x, y \in \overline{B}(x_0, \rho)$
Alors $\forall \varepsilon < \min(\eta, \frac{\rho}{M})$, sur $[t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon]$, le problème de Cauchy :
$$\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$
admet une unique solution.
L'idée est d'appliquer le théorème du point fixe de Picard : si $(X, d)$ est un espace métrique complet et $T : X \rightarrow X$ une contraction, c'est-à-dire $\exists 0 \le k < 1$ t.q. $\forall x, y \in X, \, d(T(x), T(y)) \le k \, d(x, y)$, alors $T$ admet un unique point fixe et les itérées de $T$ convergent vers ce point fixe depuis tout point de $X$.
(Pour l'existence, on montre que la suite des itérées $(T^{(k)}(x))_{k \ge 1}$ est de Cauchy.) Dans la formulation intégrale, $u$ est une solution sur $I$ ssi elle est un point fixe de :
$$\begin{align*}T : \mathcal{C}(I, \mathbb{R}^n) &\to \mathcal{C}(I, \mathbb{R}^n)\\u &\mapsto (Tu)(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, u(s)) \, ds\end{align*} $$
Cependant, en général $T$ n'est pas une contraction : il faut faire attention au choix de l'espace.
Preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz : Soit $\varepsilon < \min(\eta, \frac{\rho}{M})$. Posons $X = \mathcal{C}\left([t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon], \overline{B}(x_0, \rho)\right)$.
Vérifions que $T : X \rightarrow X,\,u \mapsto (Tu)(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, u(s)) \, ds$ est bien définie : Pour $u \in X$, pour $t_0 - \varepsilon \le t \le t_0 + \varepsilon$ :
$$\|(Tu)(t) - x_0\| = \left\| \int_{t_0}^t f(s, u(s)) \, ds \right\| \le |t - t_0| M \le \varepsilon M \le \rho $$
Donc $Tu \in X$.
Regardons si $T$ est contractante : Pour $u, v \in X$,
$$\begin{align*}\|Tu - Tv\|_\infty &= \sup_{t_0 - \varepsilon \le t \le t_0 + \varepsilon} \left\| \int_{t_0}^t (f(s, u(s)) - f(s, v(s))) \, ds \right\|\\ &\leq\sup_{t_0 - \varepsilon \le t \le t_0 + \varepsilon} \left| \int_{t_0}^t \|f(s, u(s)) - f(s, v(s))\| \, ds \right|\\ &\leq \varepsilon L \|u - v\|_\infty\end{align*} $$
Ainsi, $T$ est lipschitzienne mais pas forcément contractante (si $\varepsilon L \ge 1$). L'idée consiste à itérer $T$ (méthode de "Bootstrap"). En effet, on montre par récurrence que $\forall t \in [t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon]$, $\forall u, v \in \mathcal{C}([t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon], \overline{B}(x_0, \rho))$, $\forall n \ge 0$,
$$\|T^n u(t) - T^n v(t)\| \le \frac{L^n |t - t_0|^n}{n!} \|u - v\|_\infty $$
En effet, c'est vrai pour $n = 0$ (avec $0! = 1$), et si c'est vrai pour $n$, alors :
$$\|T^{n+1} u(t) - T^{n+1} v(t)\| \le L \left| \int_{t_0}^t \|T^n u(s) - T^n v(s)\| \, ds \right| \le \frac{L^{n+1} |t - t_0|^{n+1}}{(n+1)!} \|u - v\|_\infty $$
Donc $T^n$ est $\dfrac{(L\varepsilon)^n}{n!}-$lipschitzienne. Comme $\dfrac{(L \varepsilon)^n}{n!} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$, on peut choisir $n_0$ tel que $T^{n_0}$ est contractante. D'après le théorème du point fixe de Picard, $T^{n_0}$ admet un unique point fixe, noté $u$. Mais alors $Tu$ est aussi un point fixe car $T^{n_0}(Tu) = T(T^{n_0} u) = Tu$. Donc $Tu = u$ par unicité, ce qui conclut l'existence dans $X$.
Pour conclure, il reste à montrer que si $v : I \rightarrow \mathbb{R}^n$ est une solution, alors elle reste à valeurs dans $\overline{B}(x_0, \rho)$. Ensuite, par unicité du point fixe dans $X$, on aura $v = u$. Par l'absurde, supposons qu'il existe $t_1 \in [t_0, t_0 + \varepsilon]$ (si $t_1 \in [t_0 - \varepsilon, t_0]$ le raisonnement est similaire) tel que $\|v(t_1) - x_0\| > \rho$. Soit $t_2 = \inf \{ t \in [t_0, t_1] : \|v(t) - x_0\| = \rho \}$. Alors pour $t \in [t_0, t_2]$, $v(t) \in \overline{B}(x_0, \rho)$. Alors :
$$\rho = \|v(t_2) - x_0\| = \left\| \int_{t_0}^{t_2} f(s, v(s)) \, ds \right\| \le \int_{t_0}^{t_2} \|f(s, v(s))\| \, ds \le |t_2 - t_0| M \le \varepsilon M < \rho $$
ce qui est une contradiction car $\varepsilon < \frac{\rho}{M}$.
Remarque : On dit que $[t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon] \times \overline{B}(x_0, \rho)$ est un cylindre de sécurité car la solution n'en sort pas.
Corollaire : Sous les mêmes hypothèses, $\forall (t_0, x_0) \in U$, il existe un voisinage $V$ de $(t_0, x_0)$ et $\varepsilon' > 0$ tel que $\forall (t_0', x_0') \in V$, le problème de Cauchy
$$\begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_0') = x_0' \end{cases} $$
admet une unique solution sur $[t_0' - \varepsilon', t_0' + \varepsilon']$.
Dans les notations de la preuve, on prend $V = ]t_0 - \frac{\varepsilon}{2}, t_0 + \frac{\varepsilon}{2}[ \times B(x_0, \frac{\rho}{2})$ et $\varepsilon' < \frac{1}{2} \min(\varepsilon, \frac{\rho}{M})$.
Remarques :
La suite de fonctions définies par récurrence :
$$u_0(t) = x_0, \quad u_{n+1}(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, u_n(s)) \, ds $$
converge uniformément vers la solution du problème de Cauchy sur un intervalle $I$ suffisamment petit contenant $t_0$.
On montre par récurrence que si $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$, alors les solutions sont de classe $\mathcal{C}^{k+1}$. Ceci permet de calculer par exemple des développements limités (DL).
Exemple : Calculons le DL en $t = 0$ à l'ordre 2 de la solution du problème de Cauchy :
$$\begin{cases} x'(t) = \dfrac{t + 2}{t^2 + x(t)^2} \\ x(0) = 1 \end{cases} $$
On prend $U = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$, $f(t, x) = \dfrac{t + 2}{t^2 + x^2}$ pour $(t, x) \in U$, de classe $\mathcal{C}^\infty$. Il existe donc une unique solution $u$ au voisinage de $0$, de classe $\mathcal{C}^\infty$.
On a $u(0) = 1$, et $u'(0) = \dfrac{0 + 2}{0^2 + 1^2} = 2$.
En dérivant l'équation, on obtient :
$$u''(t) = \frac{(1) \cdot (t^2 + u(t)^2) - (t + 2)(2t + 2u(t)u'(t))}{(t^2 + u(t)^2)^2} $$
En $t = 0$, cela implique $u''(0) = -7$.
Ainsi,
$$u(t) = u(0) + t u'(0) + \frac{t^2}{2} u''(0) + o(t^2) = 1 + 2t - \frac{7}{2} t^2 + o(t^2) $$
3) Équations d'ordre n
Soit $\varphi : U \rightarrow \mathbb{R}$ avec $U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ ouvert. On suppose $\varphi$ semi-lipschitzienne. Considérons l'équation différentielle d'ordre $n$ :
$$y^{(n)}(t) = \varphi\left(t, y(t), \dots, y^{(n-1)}(t)\right) \quad \textcolor{green}{(*)} $$
C'est équivalent à une équation différentielle d'ordre 1 à $n$ inconnues :
Proposition : L'équation $\textcolor{green}{(*)}$ se réécrit, en posant $x = \left(y, y', \dots, y^{(n-1)}\right)$, par $x'(t) = f(t, x(t))$, où
$$\begin{align*}f : U &\to \mathbb{R}^n\\(t, x_1, \dots, x_n) &\mapsto (x_2, \dots, x_n, \varphi(t, x_1, \dots, x_n))\end{align*} $$
est semi-lipschitzienne.
Preuve :
On a $x'(t) = (y'(t), \dots, y^{(n)}(t))$,
$$f(t, x(t)) = \left(y'(t), \dots, y^{(n-1)}(t), \varphi\left(t, y(t), \dots, y^{(n-1)}(t)\right)\right) $$
d'où la réécriture.
Pour vérifier le caractère semi-lipschitzien de $f$ : Soit $(t_0, x_0) \in U$ et $I$ un voisinage de $t_0$, $W$ un voisinage de $x_0$ t.q. $I \times W \subset U$ et $\forall t \in I$, $\forall x, y \in W$, on a
$$|\varphi(t, x) - \varphi(t, y)| \le L \|x - y\| $$
Prenons pour $\| \cdot \|$ la norme euclidienne $\| \cdot \|_2$. Alors pour $t \in I$, $x, y \in W$ :
$$\begin{align*}\|f(t, x) - f(t, y)\|_2^2 &= \sum_{i=2}^n |x_i - y_i|^2 + |\varphi(t, x) - \varphi(t, y)|^2\\ &\leq \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2 + L^2 \|x - y\|_2^2\\ &\leq (1 + L^2) \|x - y\|_2^2\end{align*} $$
Ainsi, $f$ est bien semi-lipschitzienne.